Estudio de probabilidad sobre el miedo a volar y el estrés

**a) Probabilidad de que un individuo de la comunidad tenga un nivel de estrés medio y miedo a volar. (3 puntos)** Primero, definimos los sucesos del problema: - $V$: El individuo tiene miedo a volar. - $\bar{V}$: El individuo no tiene miedo a volar. - $E_B$: Nivel de estrés bajo. - $E_M$: Nivel de estrés medio. - $E_A$: Nivel de estrés alto. Extraemos los datos del enunciado: - $P(\bar{V}) = 0.60 \implies P(V) = 1 - 0.60 = 0.40$ - $P(E_B) = 0.50$ - $P(E_M) = 0.25$ - Como la suma de probabilidades de los niveles de estrés debe ser 1: $P(E_A) = 1 - 0.50 - 0.25 = 0.25$ - $P(E_A \cap V) = 0.05$ - $P(E_M \cap \bar{V}) = 0.05$ 💡 **Tip:** En problemas con varios sucesos que se cruzan, organizar los datos en una **tabla de contingencia** facilita enormemente la resolución. Construimos la tabla con los datos conocidos y completamos el resto por sumas y restas: $$\begin{array}{c|ccc|c} & E_B & E_M & E_A & \text{Total} \\ \hline V & 0.15 & 0.20 & 0.05 & 0.40 \\ \bar{V} & 0.35 & 0.05 & 0.20 & 0.60 \\ \hline \text{Total} & 0.50 & 0.25 & 0.25 & 1.00 \end{array}$$ Para el apartado a), buscamos la probabilidad de tener estrés medio y miedo a volar, que es la intersección $P(E_M \cap V)$. Como $P(E_M) = P(E_M \cap V) + P(E_M \cap \bar{V})$, despejamos: $$P(E_M \cap V) = P(E_M) - P(E_M \cap \bar{V}) = 0.25 - 0.05 = 0.20$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E_M \cap V) = 0.20}$$

**b) Sabiendo que un individuo tiene miedo a volar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un nivel bajo de estrés? (3 puntos)** Nos piden calcular una probabilidad condicionada: la probabilidad de tener estrés bajo ($E_B$) dado que se tiene miedo a volar ($V$). Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(E_B | V) = \frac{P(E_B \cap V)}{P(V)}$$ De nuestra tabla de contingencia obtenemos: - $P(V) = 0.40$ - $P(E_B \cap V) = 0.15$ (calculado restando $P(V) - P(V \cap E_M) - P(V \cap E_A) = 0.40 - 0.20 - 0.05 = 0.15$) Sustituimos en la fórmula: $$P(E_B | V) = \frac{0.15}{0.40} = 0.375$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El suceso que "sabemos que ocurre" siempre va en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E_B | V) = 0.375}$$

**c) ¿Son independientes los eventos “nivel de estrés bajo” y “miedo a volar”? Razonad la respuesta. (4 puntos)** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ En este caso, comprobamos si: $$P(E_B \cap V) = P(E_B) \cdot P(V)$$ Calculamos el producto de las probabilidades marginales: - $P(E_B) = 0.50$ - $P(V) = 0.40$ $$P(E_B) \cdot P(V) = 0.50 \cdot 0.40 = 0.20$$ Ahora comparamos con el valor de la intersección que tenemos en la tabla: - $P(E_B \cap V) = 0.15$ Como $0.15 \neq 0.20$, concluimos que los sucesos **no son independientes**. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(E_B|V) = P(E_B)$. En este ejercicio $0.375 \neq 0.50$, lo que confirma la dependencia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes, ya que } P(E_B \cap V) \neq P(E_B) \cdot P(V)}$$