Área de un triángulo y ángulo entre vectores

**3. Consideremos los puntos $A(0, 0, 0), B(1, 1, 0)$ y $C(0, 1, 1)$. Calculad el área del triángulo que forman los puntos $A, B$ y $C$ (5 puntos) y determinad el ángulo que forman los vectores $\mathbf{AB}$ y $\mathbf{AC}$. (5 puntos)** En primer lugar, determinamos los componentes de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ que parten del vértice $A$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el vector que une dos puntos $P$ y $Q$, restamos las coordenadas del origen a las del extremo: $\vec{PQ} = Q - P$.

Para hallar el área del triángulo, utilizaremos el producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. El módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que forman, por lo que el área del triángulo será la mitad de dicho valor. Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i}(1\cdot 1) + \mathbf{j}(0\cdot 0) + \mathbf{k}(1\cdot 1) - [\mathbf{k}(1\cdot 0) + \mathbf{i}(0\cdot 1) + \mathbf{j}(1\cdot 1)]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i} + \mathbf{k} - \mathbf{j} = (1, -1, 1)$$ $$\boxed{\vec{AB} \times \vec{AC} = (1, -1, 1)}$$

Calculamos el módulo del vector resultante del producto vectorial: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$ El área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ siempre se puede calcular como la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que compartan un vértice. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ unidades cuadradas}}$$

Para determinar el ángulo $\alpha$ que forman los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, utilizamos la definición de producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$$ Calculamos primero el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1, 1, 0) \cdot (0, 1, 1) = (1\cdot 0) + (1\cdot 1) + (0\cdot 1) = 1$$ Calculamos los módulos de cada vector: $$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ Sustituimos en la fórmula para despejar el coseno: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ Finalmente, hallamos el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar fuera cero, sabríamos inmediatamente que el ángulo es de $90^\circ$ (vectores perpendiculares). ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = 60^\circ \text{ (o } \pi/3 \text{ rad)}}$$