Área de una región delimitada por una función racional

**2. Consideremos la región delimitada por la función $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$, el eje de abscisas o eje OX y las rectas verticales $x = -1$ e $x = 1$. Realizad un esbozo de la región pedida (6 puntos) y calculad el área de la región. (4 puntos)** Para realizar el esbozo de la región, primero analizamos la función $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$. 1. **Dominio:** El denominador $1+x^2$ nunca se anula (ya que $x^2 \ge 0$ para cualquier número real). Por tanto, el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. 2. **Puntos de corte con los ejes:** - Eje OX: $f(x) = 0 \implies x = 0$. El punto es $(0,0)$. - Eje OY: $f(0) = 0$. El punto es $(0,0)$. 3. **Simetría:** $$f(-x) = \frac{-x}{1+(-x)^2} = -\frac{x}{1+x^2} = -f(x)$$ La función es **impar**, lo que significa que es simétrica respecto al origen de coordenadas. 💡 **Tip:** Las funciones impares cumplen $f(-x) = -f(x)$. Esto nos indica que el área entre $-1$ y $0$ será numéricamente igual al área entre $0$ y $1$.

Para precisar el dibujo, calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$1 - x^2 = 0 \implies x = 1, \quad x = -1$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ (el denominador siempre es positivo): $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\\hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - En $x = -1$: $f(-1) = \frac{-1}{1+(-1)^2} = -\frac{1}{2}$. Mínimo en $(-1, -0.5)$. - En $x = 1$: $f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}$. Máximo en $(1, 0.5)$. ✅ **Puntos clave para el esbozo:** $$\boxed{(-1, -0.5), (0,0), (1, 0.5)}$$

Con la información obtenida (puntos de corte, máximos, mínimos y simetría), representamos la función en el intervalo $[-1, 1]$. La región está encerrada por la curva, el eje OX ($y=0$) y las verticales $x=-1$ y $x=1$. Debido a la simetría impar, la región se compone de dos recintos iguales: uno por debajo del eje OX en $[-1, 0]$ y otro por encima en $[0, 1]$.

El área total $A$ es la suma de las áreas de los dos recintos. Dado que $f(x)$ es negativa en $[-1, 0]$ y positiva en $[0, 1]$, el área se define como: $$A = \int_{-1}^{1} |f(x)| \, dx = \left| \int_{-1}^{0} f(x) \, dx \right| + \int_{0}^{1} f(x) \, dx$$ Por la simetría impar de la función, sabemos que las dos áreas son iguales, por lo que simplificamos el cálculo: $$A = 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx$$ 💡 **Tip:** Cuando una función es impar y los límites de integración son simétricos respecto al origen, la integral definida es $0$, pero el **área** es el doble de la integral de una de las mitades (en valor absoluto).

Calculamos primero la integral indefinida. Observamos que es de tipo logarítmico, ya que el numerador es casi la derivada del denominador: $$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** al intervalo $[0, 1]$: $$A = 2 \cdot \left[ \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right]_{0}^{1} = \left[ \ln(1+x^2) \right]_{0}^{1}$$ $$A = \ln(1+1^2) - \ln(1+0^2) = \ln(2) - \ln(1)$$ Como $\ln(1) = 0$: $$A = \ln(2) \approx 0.6931 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)|$. En este caso $1+x^2$ siempre es positivo, por lo que no es estrictamente necesario el valor absoluto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \ln(2) \text{ unidades cuadradas}}$$