Ecuación matricial con vectores

Para resolver la ecuación $A \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{c} = \mathbf{d}$, primero calculamos el producto de la matriz $A$ por el vector columna $\mathbf{b}$. El producto de una matriz de dimensión $3 \times 2$ por un vector de $2 \times 1$ da como resultado un vector de dimensión $3 \times 1$: $$ A \cdot \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + 2y \\ x + 0y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + 2y \\ x \end{pmatrix} $$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de las filas de la primera matriz por los elementos de las columnas de la segunda y sumamos los resultados.

Ahora calculamos el término $2\mathbf{c}$ y restamos el resultado al producto anterior: $$ 2\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Calculamos la resta $A \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{c}$: $$ A \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + 2y \\ x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y - 2 \\ x + 2y - 2 \\ x \end{pmatrix} $$ 💡 **Tip:** Al multiplicar un escalar por un vector, multiplicamos cada componente del vector por dicho número. Al restar vectores, restamos componente a componente.

Igualamos el resultado obtenido al vector $\mathbf{d}$ según indica la ecuación matricial: $$ \begin{pmatrix} 2x + y - 2 \\ x + 2y - 2 \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z \\ z \\ z \end{pmatrix} $$ Para que dos vectores sean iguales, sus componentes deben ser iguales una a una. Esto nos permite plantear el siguiente **sistema de ecuaciones lineales**: $$ \begin{cases} 2x + y - 2 = z \\ x + 2y - 2 = z \\ x = z \end{cases} $$

Resolvemos el sistema utilizando el valor de $z$ obtenido en la tercera ecuación: 1. De la tercera ecuación sabemos que **$x = z$**. 2. Sustituimos $z$ por $x$ en las otras dos ecuaciones: $$ \begin{cases} 2x + y - 2 = x \implies x + y = 2 \\ x + 2y - 2 = x \implies 2y = 2 \end{cases} $$ 3. De la ecuación $2y = 2$, obtenemos: $$ y = \frac{2}{2} \implies \mathbf{y = 1} $$ 4. Sustituimos $y = 1$ en la ecuación $x + y = 2$: $$ x + 1 = 2 \implies \mathbf{x = 1} $$ 5. Finalmente, como $x = z$, entonces: $$ \mathbf{z = 1} $$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1, \quad y = 1, \quad z = 1}$$