Distribución normal: pesos de una comunidad

**a) ¿Qué porcentaje de la población tiene sobrepeso? Entendemos que una persona adulta de 40 años tiene sobrepeso si pesa más de $100$ kg. (4 puntos)** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el peso de un adulto de 40 años en la comunidad. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(85, 15)$$ Donde: - Media $\mu = 85$ kg. - Desviación típica $\sigma = 15$ kg. Para calcular probabilidades en una normal no estándar, debemos **tipificar** la variable para pasar a una $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite usar las tablas de la distribución normal estándar para hallar las probabilidades correspondientes.

Se nos pide el porcentaje de personas con peso mayor a $100$ kg, es decir, $P(X > 100)$. Tipificamos el valor $x = 100$: $$P(X > 100) = P\left(Z > \frac{100 - 85}{15}\right) = P\left(Z > \frac{15}{15}\right) = P(Z > 1)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada a la izquierda $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscamos en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor para $z = 1.00$: $$P(Z \le 1.00) = 0.8413$$ Realizamos la resta: $$P(Z > 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.1587 \cdot 100 = 15.87\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{15.87\% \text{ de la población tiene sobrepeso}}$$

**b) Consideramos el colectivo de los individuos más delgados de la comunidad. Si nos dicen que este colectivo representa el 40% de todos los individuos de la comunidad, ¿cuál es el peso máximo de un individuo del colectivo? (6 puntos)** En este apartado, conocemos la probabilidad (el área bajo la curva) y debemos encontrar el valor de la variable $X$. Buscamos un peso $k$ tal que la probabilidad de que un individuo pese eso o menos sea del $40\%$: $$P(X \le k) = 0.40$$ Tipificamos la expresión: $$P\left(Z \le \frac{k - 85}{15}\right) = 0.40$$ Llamamos $z_0 = \frac{k - 85}{15}$. Sabemos que $P(Z \le z_0) = 0.40$. 💡 **Tip:** Dado que $0.40 < 0.50$, el valor de $z_0$ debe ser negativo, ya que se encuentra a la izquierda de la media en la distribución normal estándar.

Como las tablas no suelen incluir valores de probabilidad inferiores a $0.50$, utilizamos la simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le z_0) = P(Z \ge -z_0) = 1 - P(Z \le -z_0) = 0.40$$ Despejamos $P(Z \le -z_0)$: $$P(Z \le -z_0) = 1 - 0.40 = 0.60$$ Ahora buscamos en el interior de la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0.60$: - Para $z = 0.25 \implies P(Z \le 0.25) = 0.5987$ - Para $z = 0.26 \implies P(Z \le 0.26) = 0.6026$ El valor más cercano es $0.25$ (o podemos usar una interpolación lineal para mayor precisión, resultando aproximadamente $0.253$). Usaremos $0.253$ para ser precisos: $$-z_0 \approx 0.253 \implies z_0 \approx -0.253$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el área a la izquierda es menor que 0.5, el valor $z$ siempre será negativo.

Una vez hallado $z_0$, despejamos el valor de $k$ de la fórmula de tipificación: $$z_0 = \frac{k - 85}{15} \implies -0.253 = \frac{k - 85}{15}$$ Multiplicamos por 15: $$-0.253 \cdot 15 = k - 85$$ $$-3.795 = k - 85$$ Sumamos 85: $$k = 85 - 3.795 = 81.205 \text{ kg}$$ Si hubiéramos usado $z=0.25$, el resultado sería $k = 85 + 15(-0.25) = 81.25$ kg. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El peso máximo del colectivo es de } 81.21 \text{ kg aproximadamente}}$$