Plano paralelo a dos rectas que pasa por el origen

Para determinar un plano, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). El enunciado nos indica que el plano es paralelo a la recta $r$ definida por la intersección de dos planos: $$r: \begin{cases} x + y = 1 \\ y + z = 2 \end{cases}$$ El vector director de una recta dada como intersección de dos planos se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n}_1 = (1, 1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, 1)$. Calculamos $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ mediante el determinante: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0)$$ $$\vec{v}_r = 1\vec{i} - 1\vec{j} + 1\vec{k} = (1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en implícitas es siempre perpendicular a los vectores normales de los planos que la definen. $$\boxed{\vec{v}_r = (1, -1, 1)}$$

La segunda recta, a la que llamaremos $s$, pasa por los puntos $A(1, 1, 0)$ y $B(0, 1, 1)$. Su vector director $\vec{v}_s$ será el vector que une ambos puntos: $$\vec{v}_s = \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0)$$ $$\vec{v}_s = (-1, 0, 1)$$ Como el plano debe ser paralelo a esta recta, este vector también nos servirá como vector director del plano. $$\boxed{\vec{v}_s = (-1, 0, 1)}$$

Ya disponemos de los elementos necesarios para definir el plano $\pi$: - Un punto: el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$. - Dos vectores directores: $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$ y $\vec{v}_s = (-1, 0, 1)$. La ecuación del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los vectores directores: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$x(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - y(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + z(1 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) = 0$$ $$-x - y(1 + 1) + z(0 - 1) = 0$$ $$-x - 2y - z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión: $$x + 2y + z = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el plano pasa por el origen $(0,0,0)$, el término independiente $D$ de la ecuación general $Ax + By + Cz + D = 0$ siempre es cero. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x + 2y + z = 0}$$