Análisis de una función polinómica: extremos, monotonía y representación

**2. Calculad los máximos y mínimos relativos de la función $f(x) = x^3 - 3x - 2$ (3 puntos), los intervalos de crecimiento y decrecimiento (3 puntos) y realizad un esbozo de su gráfica para $x$ entre $-3$ y $3$. (4 puntos)** Para estudiar la monotonía y los extremos relativos, primero debemos calcular la derivada de la función $f(x) = x^3 - 3x - 2$. $$f'(x) = 3x^2 - 3$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1$$ Esto nos da dos soluciones: $$x = 1, \quad x = -1$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son los candidatos a ser máximos o mínimos relativos. En una función polinómica, el dominio es siempre $\mathbb{R}$, por lo que no hay puntos de discontinuidad que considerar.

Utilizamos los puntos críticos $x = -1$ y $x = 1$ para dividir la recta real en tres intervalos y estudiar el signo de $f'(x)$ en cada uno de ellos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$: Elegimos $x = -2$, $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 \gt 0$ (Creciente). - En $(-1, 1)$: Elegimos $x = 0$, $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 \lt 0$ (Decreciente). - En $(1, +\infty)$: Elegimos $x = 2$, $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 \gt 0$ (Creciente). ✅ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty); \quad \text{Decreciente: } (-1, 1)}$$

A partir del estudio de la monotonía, clasificamos los puntos críticos: 1. En $x = -1$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. 2. En $x = 1$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(1) = (1)^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4$. 💡 **Tip:** También se puede usar la segunda derivada $f''(x) = 6x$. Como $f''(-1) = -6 \lt 0$, es un máximo; y como $f''(1) = 6 \gt 0$, es un mínimo. ✅ **Extremos relativos:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, 0) \text{ y Mínimo relativo en } (1, -4)}$$

Para realizar el esbozo de la gráfica en el intervalo $[-3, 3]$, calculamos los valores de la función en los extremos del intervalo y algunos puntos adicionales: - $f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) - 2 = -27 + 9 - 2 = -20$ - $f(-1) = 0$ (Máximo relativo) - $f(0) = -2$ (Ordenada en el origen) - $f(1) = -4$ (Mínimo relativo) - $f(2) = (2)^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$ (Raíz) - $f(3) = (3)^3 - 3(3) - 2 = 27 - 9 - 2 = 16$ La gráfica sube desde $(-3, -20)$ hasta el máximo en $(-1, 0)$, baja hasta el mínimo en $(1, -4)$ y vuelve a subir hasta el punto $(3, 16)$.