Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**1. a) Discutid para qué valores de $m$ el sistema siguiente es compatible:** Para discutir el sistema según los valores del parámetro $m$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 6 & 6 & m^2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & m \\ 6 & 6 & m^2 & -9 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 6 & 6 & m^2 \end{vmatrix} = (4 \cdot 1 \cdot m^2) + (3 \cdot (-1) \cdot 6) + (2 \cdot 2 \cdot 6) - (6 \cdot 1 \cdot 2) - (6 \cdot (-1) \cdot 4) - (m^2 \cdot 2 \cdot 3)$$ $$|A| = 4m^2 - 18 + 24 - 12 + 24 - 6m^2 = -2m^2 + 18$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-2m^2 + 18 = 0 \implies m^2 = 9 \implies m = \pm 3$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única o si debemos analizar rangos menores.

Si $m \neq 3$ y $m \neq -3$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una única solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 3, -3 \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Para $m = 3$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Comprobamos si existe un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora analizamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ sustituyendo $m = 3$: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 6 & 6 & 9 & -9 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante del menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 6 & 6 & -9 \end{vmatrix} = (-36 + 54 + 0) - (0 + 72 - 54) = 18 - 18 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que incluyen la columna de términos independientes son cero (puedes comprobarlo o razonar que la fila 3 es combinación lineal de las otras si el rango es 2), tenemos que $\text{rg}(A^*) = 2$. Dado que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt n^{\circ} \text{ incógnitas}$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 3 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Para $m = -3$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$ (mismo menor de antes). Analizamos el rango de $A^*$ sustituyendo $m = -3$: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & -3 \\ 6 & 6 & 9 & -9 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante del menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \\ 6 & 6 & -9 \end{vmatrix} = (-36 - 54 + 0) - (0 - 72 - 54) = -90 - (-126) = 36 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la matriz ampliada, $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -3 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

**b) Resolvedlo en el caso en que sea compatible indeterminado.** El sistema es SCI cuando $m = 3$. En este caso, el rango es 2, por lo que podemos prescindir de una ecuación (la tercera, que es combinación lineal) y usar un parámetro para una de las incógnitas. El sistema reducido es: $$\begin{cases} 4x + 3y + 2z = 0 \\ 2x + y - z = 3 \end{cases}$$ Hacemos $z = \lambda$: $$\begin{cases} 4x + 3y = -2\lambda \\ 2x + y = 3 + \lambda \end{cases}$$ De la segunda ecuación, despejamos $y$: $y = 3 + \lambda - 2x$. Sustituimos en la primera: $$4x + 3(3 + \lambda - 2x) = -2\lambda$$ $$4x + 9 + 3\lambda - 6x = -2\lambda \implies -2x = -9 - 5\lambda \implies x = \frac{9 + 5\lambda}{2}$$ Ahora calculamos $y$: $$y = 3 + \lambda - 2\left(\frac{9 + 5\lambda}{2}\right) = 3 + \lambda - (9 + 5\lambda) = -6 - 4\lambda$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas con infinitas soluciones, siempre expresa el resultado en función de un parámetro (normalmente $\lambda$). ✅ **Resultado (m = 3):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{9 + 5\lambda}{2}, -6 - 4\lambda, \lambda \right), \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$