Probabilidad y Distribución Normal: Temperatura en Julio

**a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcula $P(A)$ si $P(B) = 0.8$, $P(A \cap B) = 0.2$ y $P(A \cup B)$ es el triple de $P(A)$.** Utilizamos la fórmula fundamental de la probabilidad para la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ De los datos del enunciado sabemos que: - $P(B) = 0.8$ - $P(A \cap B) = 0.2$ - $P(A \cup B) = 3 \cdot P(A)$ Sustituimos estos valores en la fórmula: $$3 \cdot P(A) = P(A) + 0.8 - 0.2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la unión siempre resta la intersección para no contar dos veces los elementos comunes.

Agrupamos los términos con $P(A)$ en un lado de la igualdad para resolver la ecuación: $$3 \cdot P(A) - P(A) = 0.6$$ $$2 \cdot P(A) = 0.6$$ $$P(A) = \frac{0.6}{2}$$ $$P(A) = 0.3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.3}$$

**b) En un determinado lugar, la temperatura máxima durante el mes de julio sigue una distribución normal de media $25^\circ\text{C}$ y desviación típica $4^\circ\text{C}$. Calcula la probabilidad de que la temperatura máxima de un cierto día esté comprendida entre $21^\circ\text{C}$ y $27.2^\circ\text{C}$. ¿En cuántos días del mes se espera que la temperatura máxima permanezca dentro de ese rango?** Sea $X$ la variable aleatoria que representa la temperatura máxima en un día de julio. Según el enunciado: $$X \sim N(\mu=25, \sigma=4)$$ Queremos calcular la probabilidad de que $X$ esté entre $21$ y $27.2$, es decir: $$P(21 \le X \le 27.2)$$ Para ello, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. 💡 **Tip:** Tipificar permite usar las tablas de la normal estándar, donde la media es $0$ y la desviación es $1$.

Tipificamos los límites del intervalo: $$P(21 \le X \le 27.2) = P\left(\frac{21 - 25}{4} \le Z \le \frac{27.2 - 25}{4}\right)$$ $$P(-1 \le Z \le 0.55)$$ Descomponemos la probabilidad: $$P(Z \le 0.55) - P(Z \le -1)$$ Como las tablas no suelen mostrar valores negativos, aplicamos la simetría $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$: $$P(Z \le 0.55) - [1 - P(Z \le 1)]$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $P(Z \le 0.55) = 0.7088$ - $P(Z \le 1) = 0.8413$ Sustituimos: $$0.7088 - (1 - 0.8413) = 0.7088 - 0.1587 = 0.5501$$ ✅ **Resultado (Probabilidad):** $$\boxed{P(21 \le X \le 27.2) = 0.5501}$$

El mes de julio tiene **31 días**. Para calcular el número esperado de días, multiplicamos el número total de días por la probabilidad hallada: $$E = n \cdot p = 31 \cdot 0.5501 = 17.0531$$ Redondeando al número entero más próximo, se espera que la temperatura esté en ese rango unos **17 días**. 💡 **Tip:** En problemas de "número esperado" o esperanza matemática en contextos discretos (días), solemos redondear al entero más cercano. ✅ **Resultado (Días):** $$\boxed{17 \text{ días}}$$