Posición relativa de planos, plano por tres puntos y simétrico de un punto

**a) Estudia la posición relativa de los planos $\pi_1: mx - y + 2 = 0$ y $\pi_2: 2x + 3y = 0$ en función del parámetro $m$.** Para estudiar la posición relativa de dos planos, analizamos la proporcionalidad de sus vectores normales: $$\vec{n}_1 = (m, -1, 0), \quad \vec{n}_2 = (2, 3, 0)$$ Consideramos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M'$ del sistema formado por ambos planos: $$M = \begin{pmatrix} m & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad M' = \left(\begin{array}{ccc|c} m & -1 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Los planos serán **paralelos o coincidentes** si el rango de $M$ es 1, es decir, si sus vectores normales son proporcionales: $$\frac{m}{2} = \frac{-1}{3} = \frac{0}{0}$$ Esto ocurre cuando $3m = -2 \implies m = -\frac{2}{3}$. - **Caso 1: $m \neq -\frac{2}{3}$** Si $m \neq -\frac{2}{3}$, los vectores normales no son proporcionales. El rango de $M$ es 2 y el rango de $M'$ es 2. ✅ **Resultado:** Si $m \neq -\frac{2}{3}$, los planos son **secantes** (se cortan en una recta). - **Caso 2: $m = -\frac{2}{3}$** Si $m = -\frac{2}{3}$, los vectores normales son proporcionales: $\vec{n}_1 = (-\frac{2}{3}, -1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (2, 3, 0)$. Comprobamos si los términos independientes también son proporcionales: $$\frac{-2/3}{2} = \frac{-1}{3} \neq \frac{2}{0}$$ Como los términos independientes no siguen la misma proporción, los planos no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** Si $m = -\frac{2}{3}$, los planos son **paralelos estrictos**. $$\boxed{\text{Si } m \neq -2/3 \text{ secantes; si } m = -2/3 \text{ paralelos}}$$

**b) Obtén la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos $A(0,0,0), B(1,0,1)$ y $C(0,1,0)$.** Para obtener la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores no colineales. Usaremos el punto $A$ y los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (1, 0, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0, 1, 0)$$ La ecuación implícita (o general) se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} \\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$x \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$x(0 - 1) - y(0 - 0) + z(1 - 0) = 0$$ $$-x + z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión: $$x - z = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano que pasa por el origen $(0,0,0)$ siempre tiene su término independiente igual a 0 ($D=0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - z = 0}$$

**c) Calcula el punto simétrico del punto $P(1,2,3)$ con respecto al plano $\pi: -x + y + z = 0$.** Para hallar el simétrico $P'$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre $r$ y $\pi$ (punto medio). 3. Usar la fórmula del punto medio para hallar $P'$. El vector normal al plano $\pi$ es $\vec{n}_\pi = (-1, 1, 1)$, que servirá como vector director de nuestra recta $r$. Ecuaciones paramétricas de $r$ pasando por $P(1,2,3)$: $$r: \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$

Sustituimos las coordenadas de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$ para encontrar el punto de corte $M$: $$-(1 - \lambda) + (2 + \lambda) + (3 + \lambda) = 0$$ $$-1 + \lambda + 2 + \lambda + 3 + \lambda = 0$$ $$3\lambda + 4 = 0 \implies \lambda = -\frac{4}{3}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta: $$x_M = 1 - \left(-\frac{4}{3}\right) = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$$ $$y_M = 2 + \left(-\frac{4}{3}\right) = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$$ $$z_M = 3 + \left(-\frac{4}{3}\right) = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$$ El punto de intersección es $M\left(\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)$.

Sabemos que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, donde $P'$ es el simétrico buscado $P'(x', y', z')$: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos cada coordenada: $$x' = 2 \cdot \frac{7}{3} - 1 = \frac{14}{3} - \frac{3}{3} = \frac{11}{3}$$ $$y' = 2 \cdot \frac{2}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}$$ $$z' = 2 \cdot \frac{5}{3} - 3 = \frac{10}{3} - \frac{9}{3} = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** No uses fórmulas directas de simetría, es más seguro y didáctico encontrar el punto de proyección $M$ y luego duplicar el vector $\vec{PM}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'\left(\frac{11}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)}$$