Estudio completo de una función exponencial e integración

**a) Calcular los límites $\lim_{x \to \infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.** Primero, calculamos el límite cuando $x \to \infty$: $$\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right]$$ Volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = \frac{2}{\infty} = 0$$ Ahora, calculamos el límite cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x}$$ Cuando $x \to -\infty$, $x^2 \to \infty$ y $-x \to \infty$, por lo que $e^{-x} \to e^{\infty} = \infty$. El producto de dos infinitos positivos es infinito: $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital solo se aplica en indeterminaciones $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. La función exponencial con exponente positivo crece mucho más rápido que cualquier potencia de $x$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$$

**b) Determinar intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión.** Calculamos la primera derivada usando la regla del producto: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})' = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2)$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$e^{-x}(2x - x^2) = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 2$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos (recordando que $e^{-x} > 0$ siempre): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - **Intervalos de decrecimiento:** $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ - **Intervalo de crecimiento:** $(0, 2)$ - **Mínimo relativo:** En $x=0$, $f(0) = 0^2 e^{0} = 0$. Punto $\mathbf{(0,0)}$. - **Máximo relativo:** En $x=2$, $f(2) = 2^2 e^{-2} = \frac{4}{e^2}$. Punto $\mathbf{(2, 4/e^2)}$. ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 2); \text{ Decreciente en } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty); \text{ Mín rel: } (0,0); \text{ Máx rel: } (2, 4/e^2)}$$

Para los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = (e^{-x})'(2x - x^2) + e^{-x}(2x - x^2)' = -e^{-x}(2x - x^2) + e^{-x}(2 - 2x)$$ $$f''(x) = e^{-x}(-2x + x^2 + 2 - 2x) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2)$$ Igualamos a cero: $$x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$ Los puntos candidatos son $x_3 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.59$ y $x_4 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$. Analizamos el signo de $f''(x)$ (el signo depende solo de $x^2 - 4x + 2$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 2-\sqrt{2}) & 2-\sqrt{2} & (2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}) & 2+\sqrt{2} & (2+\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \cup & P.I. & \cap & P.I. & \cup \end{array}$$ Existen cambios de curvatura, por lo que ambos son puntos de inflexión. 💡 **Tip:** Un punto de inflexión requiere que $f''(x)=0$ y que haya un cambio de signo en la segunda derivada a su izquierda y derecha. ✅ **Resultado (Puntos de Inflexión):** $$\boxed{\text{Puntos de inflexión en } x = 2 - \sqrt{2} \text{ y } x = 2 + \sqrt{2}}$$

A continuación se presenta la gráfica de la función donde se pueden observar los extremos relativos y el comportamiento asintótico.

**c) Calcular $\int f(x) dx$.** Debemos calcular $\int x^2 e^{-x} dx$. Utilizaremos el método de **integración por partes** dos veces. **Primera aplicación:** Sea $u = x^2 \implies du = 2x dx$ Sea $dv = e^{-x} dx \implies v = -e^{-x}$ Aplicando $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int -e^{-x} (2x) dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$$ **Segunda aplicación** para la integral restante $\int x e^{-x} dx$: Sea $u = x \implies du = dx$ Sea $dv = e^{-x} dx \implies v = -e^{-x}$ $$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x}$$ Sustituimos este resultado en la expresión original: $$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2(-x e^{-x} - e^{-x}) + C$$ $$= -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C$$ Factorizando $-e^{-x}$: $$= -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$$ 💡 **Tip:** Para integrales del tipo $\int P(x)e^{ax}dx$, aplica partes tantas veces como el grado del polinomio $P(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int x^2 e^{-x} dx = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C}$$