Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discute, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $$\begin{cases} 2x - y + 3z = 0 \\ my + (3 - m)z = -6 \\ 2x - y + mz = 6 \end{cases}$$** Primero escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & m & 3 - m \\ 2 & -1 & m \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & m & 3 - m & -6 \\ 2 & -1 & m & 6 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El estudio del rango de la matriz de coeficientes mediante su determinante es el primer paso para aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & m & 3 - m \\ 2 & -1 & m \end{vmatrix}$$ $$|A| = [2 \cdot m \cdot m + (-1) \cdot (3 - m) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot (-1)] - [3 \cdot m \cdot 2 + (3 - m) \cdot (-1) \cdot 2 + m \cdot 0 \cdot (-1)]$$ $$|A| = [2m^2 - 2(3 - m) + 0] - [6m - 2(3 - m) + 0]$$ $$|A| = 2m^2 - 6 + 2m - (6m - 6 + 2m)$$ $$|A| = 2m^2 + 2m - 6 - 8m + 6 = 2m^2 - 6m$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2m^2 - 6m = 0 \implies 2m(m - 3) = 0$$ Esto nos da dos valores: **$m = 0$** y **$m = 3$**. $$\boxed{|A| = 2m(m-3)}$$

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los rangos de $A$ y $A^*$: 1. **Si $m \neq 0$ y $m \neq 3$**: El determinante $|A| \neq 0$. Por tanto, $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango máximo de la matriz ampliada también es 3 y coincide con el número de incógnitas: **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. Tiene solución única. 2. **Si $m = 3$**: La matriz $A$ es $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Como el menor $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 6 \neq 0$, $\text{rg}(A) = 2$. Analizamos $A^*$ con $m=3$: $\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6 \\ 2 & -1 & 3 & 6 \end{array}\right)$. Tomamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos constantes: $$\begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & -6 \\ -1 & 3 & 6 \end{vmatrix} = (0+18+0) - (0+18+54) = 18 - 72 = -54 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el **Sistema es Incompatible (SI)**. 3. **Si $m = 0$**: La matriz $A$ es $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$. El menor $\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Analizamos $A^*$ con $m=0$: $\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \\ 2 & -1 & 0 & 6 \end{array}\right)$. Todos los menores de orden 3 son cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -6 \\ 2 & 0 & 6 \end{vmatrix} = (36+0+0) - (0+0+36) = 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A^*) \lt 3$ (nº incógnitas). El **Sistema es Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado discusión:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 0, 3: \text{SCD} \\ m = 0: \text{SCI} \\ m = 3: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resuélvelo, si es posible, en los casos $m = 0$ y $m = 4$.** Para **$m = 0$**, el sistema es: $$\begin{cases} 2x - y + 3z = 0 \\ 3z = -6 \\ 2x - y = 6 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $z = \frac{-6}{3} = -2$. Sustituimos $z = -2$ en la primera ecuación: $$2x - y + 3(-2) = 0 \implies 2x - y - 6 = 0 \implies 2x - y = 6$$ Como esta ecuación es idéntica a la tercera, el sistema tiene infinitas soluciones. Parametrizamos haciendo $x = \lambda$: $$y = 2\lambda - 6$$ ✅ **Resultado para $m=0$:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 2\lambda - 6, -2) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

Para **$m = 4$**, el sistema es **SCD**: $$\begin{cases} 2x - y + 3z = 0 \quad (1) \\ 4y - z = -6 \quad (2) \\ 2x - y + 4z = 6 \quad (3) \end{cases}$$ Restamos la ecuación (1) a la (3): $$(2x - y + 4z) - (2x - y + 3z) = 6 - 0 \implies z = 6$$ Sustituimos $z = 6$ en la ecuación (2): $$4y - 6 = -6 \implies 4y = 0 \implies y = 0$$ Sustituimos $y = 0$ y $z = 6$ en la ecuación (1): $$2x - 0 + 3(6) = 0 \implies 2x + 18 = 0 \implies 2x = -18 \implies x = -9$$ ✅ **Resultado para $m=4$:** $$\boxed{x = -9, y = 0, z = 6}$$