Probabilidad de sucesos y Distribución Binomial

**a) El 40% de los habitantes de una cierta comarca tienen camelias, el 35% tienen rosas y el 21% tienen camelias y rosas. Si se elige al azar a un habitante de esa comarca, calcular las cinco probabilidades siguientes: de que tenga camelias o rosas; de que no tenga ni camelias ni rosas; de que tenga camelias, sabiendo que tiene rosas; de que tenga rosas, sabiendo que tiene camelias; y de que solamente tenga rosas o solamente tenga camelias.** Primero definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $C$: El habitante tiene camelias. $P(C) = 0,40$. - $R$: El habitante tiene rosas. $P(R) = 0,35$. - $C \cap R$: El habitante tiene camelias y rosas. $P(C \cap R) = 0,21$. Podemos organizar estos datos en una **tabla de contingencia** para visualizar mejor el resto de probabilidades: $$\begin{array}{c|cc|c} & R & \overline{R} & \text{Total} \\ \hline C & 0,21 & 0,19 & 0,40 \\ \overline{C} & 0,14 & 0,46 & 0,60 \\ \hline \text{Total} & 0,35 & 0,65 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, las sumas de las filas y columnas deben coincidir con las probabilidades marginales. Por ejemplo, $P(C \cap \overline{R}) = P(C) - P(C \cap R) = 0,40 - 0,21 = 0,19$.

Calculamos las dos primeras probabilidades solicitadas: 1. **Tener camelias o rosas ($P(C \cup R)$):** Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(C \cup R) = P(C) + P(R) - P(C \cap R)$$ $$P(C \cup R) = 0,40 + 0,35 - 0,21 = 0,54.$$ 2. **No tener ni camelias ni rosas ($P(\overline{C} \cap \overline{R})$):** Por las Leyes de De Morgan, sabemos que $\overline{C} \cap \overline{R} = \overline{C \cup R}$. Por tanto: $$P(\overline{C} \cap \overline{R}) = 1 - P(C \cup R) = 1 - 0,54 = 0,46.$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios.

Calculamos las probabilidades de que tenga una flor sabiendo que tiene la otra: 3. **Tener camelias sabiendo que tiene rosas ($P(C | R)$):** $$P(C | R) = \frac{P(C \cap R)}{P(R)} = \frac{0,21}{0,35} = 0,6.$$ 4. **Tener rosas sabiendo que tiene camelias ($P(R | C)$):** $$P(R | C) = \frac{P(R \cap C)}{P(C)} = \frac{0,21}{0,40} = 0,525.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El denominador siempre es la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido.

5. **Tener solamente rosas o solamente camelias:** Este suceso corresponde a la diferencia simétrica, es decir, ocurre $C$ o ocurre $R$ pero no ambos a la vez. Se puede calcular restando la intersección a la unión: $$P(\text{solo } C \text{ o solo } R) = P(C \cup R) - P(C \cap R)$$ $$P(\text{solo } C \text{ o solo } R) = 0,54 - 0,21 = 0,33.$$ Alternativamente, usando la tabla: $P(C \cap \overline{R}) + P(\overline{C} \cap R) = 0,19 + 0,14 = 0,33$. ✅ **Resultados Apartado a):** $$\boxed{P(C \cup R) = 0,54; \quad P(\overline{C} \cap \overline{R}) = 0,46; \quad P(C|R) = 0,6; \quad P(R|C) = 0,525; \quad P(\text{solo } C \text{ o } R) = 0,33}$$

**b) Si en un auditorio hay 50 personas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 hayan nacido en el mes de enero?** Estamos ante un experimento de Bernoulli que se repite $n=50$ veces de forma independiente. Definimos la variable aleatoria $X$: "Número de personas que han nacido en enero". - Probabilidad de éxito ($p$): Nacer en enero. Suponiendo meses equiprobables, $p = \frac{1}{12}$. - Probabilidad de fracaso ($q$): No nacer en enero. $q = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$. - Número de ensayos ($n$): $50$. Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: $$X \sim B\left(50, \frac{1}{12}\right)$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos en una binomial es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.

Nos piden la probabilidad de que "por lo menos 2" hayan nacido en enero, es decir, $P(X \ge 2)$. Es mucho más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Calculamos término a término: - $P(X=0) = \binom{50}{0} \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^0 \cdot \left(\frac{11}{12}\right)^{50} = 1 \cdot 1 \cdot (0,9167)^{50} \approx 0,01298$ - $P(X=1) = \binom{50}{1} \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^1 \cdot \left(\frac{11}{12}\right)^{49} = 50 \cdot 0,0833 \cdot (0,9167)^{49} \approx 0,05899$ Sumamos las probabilidades individuales: $$P(X < 2) = 0,01298 + 0,05899 = 0,07197$$ Finalmente: $$P(X \ge 2) = 1 - 0,07197 = 0,92803$$ ✅ **Resultado Apartado b):** $$\boxed{P(X \ge 2) \approx 0,928}$$