Ángulos entre vectores, planos y simetría

**a) Calcular el ángulo del intervalo $[0^\circ, 90^\circ]$ que forman los vectores $\vec{u} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ y $\vec{v} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{-1+\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.** Para calcular el ángulo $\alpha$ entre dos vectores, utilizamos la definición de producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ Calculamos primero el producto escalar: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{-1+\sqrt{2}}{2}\right) + 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{-1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 - 1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ Ahora calculamos los módulos: $$|\vec{u}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + rac{1}{2}} = 1$$ $$|\vec{v}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{-1+\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1-2\sqrt{2}+2}{4} + \frac{1}{2}}$$ $$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{1 + 3 - 2\sqrt{2} + 2}{4}} = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6-2\sqrt{2}}}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto escalar es la suma de los productos de las componentes correspondientes: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula del coseno: $$\cos \alpha = \frac{1/2}{1 \cdot \frac{\sqrt{6-2\sqrt{2}}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{6-2\sqrt{2}}}$$ Calculamos el valor numérico para encontrar el ángulo: $$\cos \alpha \approx \frac{1}{\sqrt{6-2.8284}} \approx \frac{1}{\sqrt{3.1716}} \approx 0.5615$$ $$\alpha = \arccos(0.5615) \approx 55.84^\circ$$ Como el resultado está en el intervalo $[0^\circ, 90^\circ]$, es la solución buscada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{6-2\sqrt{2}}}\right) \approx 55.84^\circ}$$

**b) Obtener la ecuación implícita del plano que pasa por el punto $P(1, -3, 0)$ y es perpendicular a la recta $$\begin{cases} x - y + 2z = 1 \\ y - z = 0 \end{cases}$$** Si el plano es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{d}_r$ será el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Calculamos $\vec{d}_r$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que definen la recta: $$\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{d}_r = \vec{i}[(-1)(-1) - (2)(1)] - \vec{j}[(1)(-1) - (2)(0)] + \vec{k}[(1)(1) - (-1)(0)]$$ $$\vec{d}_r = \vec{i}(1 - 2) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(1) = (-1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de los vectores normales de dos planos que se cortan nos da la dirección de la recta de intersección.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_\pi = (-1, 1, 1)$ y el punto $P(1, -3, 0)$ en la ecuación general del plano $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$: $$-1(x - 1) + 1(y - (-3)) + 1(z - 0) = 0$$ $$-x + 1 + y + 3 + z = 0$$ $$-x + y + z + 4 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: -x + y + z + 4 = 0}$$

**c) Calcular la distancia del punto $Q(1, 1, 1)$ al plano $\pi: -x + y + z + 4 = 0$ y el punto simétrico de $Q$ respecto a $\pi$.** Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto $Q(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$: $$d(Q, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituyendo $Q(1, 1, 1)$ y el plano $-x + y + z + 4 = 0$: $$d(Q, \pi) = \frac{|-1(1) + 1(1) + 1(1) + 4|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + 1 + 1 + 4|}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando: $$d(Q, \pi) = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(Q, \pi) = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89}$$

Para hallar el simétrico $Q'$, primero buscamos el punto $M$ (proyección de $Q$ sobre $\pi$). Para ello, definimos la recta $s$ que pasa por $Q$ y es perpendicular a $\pi$. La dirección de $s$ es el vector normal de $\pi$: $\vec{d}_s = (-1, 1, 1)$. Su ecuación paramétrica es: $$s: \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ Calculamos el punto de intersección $M = s \cap \pi$ sustituyendo las coordenadas de la recta en la ecuación del plano: $$-(1 - \lambda) + (1 + \lambda) + (1 + \lambda) + 4 = 0$$ $$-1 + \lambda + 1 + \lambda + 1 + \lambda + 4 = 0$$ $$3\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -\frac{5}{3}$$ Sustituyendo $\lambda$ en la recta obtenemos $M$: $$x_M = 1 - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{8}{3}; \quad y_M = 1 - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3}; \quad z_M = 1 - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3}$$ $$M\left(\frac{8}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ es el punto medio entre $Q$ y su simétrico $Q'$.

Si $M$ es el punto medio del segmento $QQ'$, se cumple que $M = \frac{Q + Q'}{2}$. Despejamos $Q'$: $$Q' = 2M - Q$$ Calculamos cada componente de $Q'(x', y', z')$: $$x' = 2\left(\frac{8}{3}\right) - 1 = \frac{16}{3} - \frac{3}{3} = \frac{13}{3}$$ $$y' = 2\left(-\frac{2}{3}\right) - 1 = -\frac{4}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{7}{3}$$ $$z' = 2\left(-\frac{2}{3}\right) - 1 = -\frac{4}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{7}{3}$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{Q'\left(\frac{13}{3}, -\frac{7}{3}, -\frac{7}{3}\right)}$$