Integración por partes, derivabilidad de funciones a trozos y cálculo de áreas

**a) Mediante integración por partes, demuestra que $\int \ln x dx = x(\ln x - 1) + C$. Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación.** Para calcular la integral de la función logaritmo neperiano $\int \ln x dx$, utilizamos el método de integración por partes. Elegimos las partes: - $u = \ln x \implies du = \dfrac{1}{x} dx$ - $dv = dx \implies v = x$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx$$ $$\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$$ Factorizando la $x$ obtenemos: $$\int \ln x \, dx = x(\ln x - 1) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica "Un Día Vi Una Vaca Sin Cola Vestida De Uniforme" para la fórmula de integración por partes.

Para demostrar la igualdad mediante derivación, debemos derivar el resultado obtenido y comprobar que coincide con el integrando, es decir, con $\ln x$. Sea $F(x) = x(\ln x - 1) + C$. Derivamos usando la regla del producto: $$F'(x) = (x)' \cdot (\ln x - 1) + x \cdot (\ln x - 1)' + (C)'$$ $$F'(x) = 1 \cdot (\ln x - 1) + x \cdot \left(\frac{1}{x} - 0\right) + 0$$ $$F'(x) = \ln x - 1 + \frac{x}{x} = \ln x - 1 + 1 = \ln x$$ Como $F'(x) = \ln x$, queda demostrada la igualdad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int \ln x \, dx = x(\ln x - 1) + C}$$

**b) Si $f(x) = \begin{cases} \ln x & \text{si } x \in (0, e], \\ ax + b & \text{si } x \in (e, \infty), \end{cases}$ di qué relación tiene que existir entre los parámetros $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que $f$ sea derivable.** Primero, estudiamos la continuidad en el punto de cambio entre ramas, $x = e$. Para que $f(x)$ sea continua en $x = e$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $f(e) = \ln e = 1$ 2. $\lim_{x \to e^-} f(x) = \lim_{x \to e^-} \ln x = 1$ 3. $\lim_{x \to e^+} f(x) = \lim_{x \to e^+} (ax + b) = ae + b$ Para que sea continua: $ae + b = 1$. ✅ **Relación para la continuidad:** $$\boxed{b = 1 - ae}$$

Para que la función sea derivable en $x = e$, primero debe ser continua (lo cual implica $b = 1 - ae$). Si se cumple la continuidad, calculamos la derivada de cada rama: $$f'(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x \in (0, e), \\ a & \text{si } x \in (e, \infty). \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = e$: - Derivada por la izquierda: $f'(e^-) = \lim_{x \to e^-} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{e}$ - Derivada por la derecha: $f'(e^+) = \lim_{x \to e^+} a = a$ Para que sea derivable, $f'(e^-) = f'(e^+)$, por lo tanto: $$a = \frac{1}{e}$$ Sustituimos el valor de $a$ en la relación de continuidad para hallar $b$: $$b = 1 - ae = 1 - \left(\frac{1}{e}\right)e = 1 - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** No olvides que la derivabilidad siempre requiere que la función sea previamente continua en ese punto. ✅ **Valores para derivabilidad:** $$\boxed{a = \frac{1}{e}, \quad b = 0}$$

**c) Calcula el área de la región encerrada por el eje $X$, la recta $x = 4$ y la gráfica de $f(x) = \begin{cases} \ln x & \text{si } x \in (0, e], \\ \frac{x}{e} & \text{si } x \in (e, \infty). \end{cases}$** Primero identificamos los límites de integración. El eje $X$ es la recta $y = 0$. - La función $f(x) = \ln x$ corta al eje $X$ cuando $\ln x = 0$, es decir, en $x = 1$. - La región está limitada por $x = 1$, el punto de cambio de rama $x = e$ y la recta vertical $x = 4$. El área total $A$ será la suma de dos integrales: $$A = \int_{1}^{e} \ln x \, dx + \int_{e}^{4} \frac{x}{e} \, dx$$ Visualmente, la región es la siguiente:

Calculamos cada parte por separado usando la Regla de Barrow: 1. Para la primera rama usamos el resultado del apartado a): $$\int_{1}^{e} \ln x \, dx = [x(\ln x - 1)]_{1}^{e} = (e(\ln e - 1)) - (1(\ln 1 - 1))$$ $$= (e(1 - 1)) - (1(0 - 1)) = 0 - (-1) = 1 \text{ u}^2$$ 2. Para la segunda rama: $$\int_{e}^{4} \frac{x}{e} \, dx = \frac{1}{e} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{e}^{4} = \frac{1}{2e} [x^2]_{e}^{4} = \frac{1}{2e} (4^2 - e^2)$$ $$= \frac{16 - e^2}{2e} = \frac{16}{2e} - \frac{e^2}{2e} = \frac{8}{e} - \frac{e}{2} \text{ u}^2$$ Sumamos ambas áreas: $$A = 1 + \frac{8}{e} - \frac{e}{2} = \frac{2e + 16 - e^2}{2e} \text{ u}^2$$ Podemos dar el valor aproximado si se desea: $A \approx 1 + 2.943 - 1.359 \approx 2.584 \text{ u}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 1 + \frac{8}{e} - \frac{e}{2} \text{ u}^2}$$