Ecuación matricial e inversión de matrices

**a) Suponiendo que $A$ y $X$ son matrices cuadradas y que $A + I$ es invertible, despeja $X$ en la ecuación $A - X = AX$.** Para despejar $X$, primero agrupamos todos los términos que contienen la matriz $X$ en un mismo lado de la igualdad: $$A = AX + X$$ Ahora, factorizamos la matriz $X$ por la derecha. Es muy importante recordar que, al extraer factor común de una matriz sumada a sí misma, debemos utilizar la matriz identidad $I$: $$A = (A + I)X$$ Como el enunciado nos indica que la matriz $(A + I)$ es invertible, existe $(A + I)^{-1}$. Multiplicamos por la izquierda en ambos miembros por dicha inversa para aislar $X$: $$(A + I)^{-1} A = (A + I)^{-1} (A + I) X$$ $$(A + I)^{-1} A = I \cdot X$$ $$X = (A + I)^{-1} A$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los factores importa. Como $(A+I)$ está a la izquierda de $X$, debemos multiplicar por su inversa también por la izquierda. ✅ **Resultado del despeje:** $$\boxed{X = (A + I)^{-1} A}$$

**b) Si $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, calcula $X$ tal que $A - X = AX$.** En primer lugar, calculamos la matriz sumando la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ a la matriz $A$ dada: $$A + I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A + I = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $(A + I)^{-1}$, calculamos primero el determinante de la matriz: $$|A + I| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot 4) - (-1 \cdot 1) = 4 + 1 = 5$$ Como $|A + I| = 5 \neq 0$, la matriz es invertible. Procedemos a calcular la matriz de adjuntos: - $C_{11} = 4$ - $C_{12} = -1$ - $C_{21} = -(-1) = 1$ - $C_{22} = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A + I) = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ La matriz inversa es la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante: $$(A + I)^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^t = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la matriz inversa es $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$.

Finalmente, aplicamos la fórmula despejada en el apartado a): $X = (A + I)^{-1} A$ $$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices fila por columna: - Elemento (1,1): $4 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$ - Elemento (1,2): $4 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -4 + 3 = -1$ - Elemento (2,1): $-1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$ - Elemento (2,2): $-1 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 1 + 3 = 4$ Multiplicando por el escalar $\frac{1}{5}$: $$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/5 & -1/5 \\ 1/5 & 4/5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/5 & -1/5 \\ 1/5 & 4/5 \end{pmatrix}}$$