Probabilidad: Operaciones con sucesos y Distribuciones Binomial y Normal

**a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que $P(A) = 0.2$, $P(B) = 0.4$ y $P(A \cup B) = 0.5$. Calcula $P(\overline{A})$, $P(\overline{B})$, $P(A \cap B)$ y $P(\overline{A} \cup \overline{B})$. Razona si $A$ y $B$ son o no sucesos independientes.** Comenzamos calculando las probabilidades de los sucesos contrarios o complementarios utilizando la propiedad $P(\overline{S}) = 1 - P(S)$: $$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.2 = 0.8$$ $$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de la probabilidad de un suceso y su contrario siempre es 1. $$\boxed{P(\overline{A}) = 0.8, \quad P(\overline{B}) = 0.6}$$

Para hallar la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$, utilizamos la fórmula de la unión de sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.5 = 0.2 + 0.4 - P(A \cap B)$$ $$0.5 = 0.6 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0.6 - 0.5 = 0.1$$ Para calcular $P(\overline{A} \cup \overline{B})$, aplicamos las **Leyes de De Morgan**, que establecen que $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$: $$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$$ $$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - 0.1 = 0.9$$ $$\boxed{P(A \cap B) = 0.1, \quad P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0.9}$$

Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.2 \cdot 0.4 = 0.08$$ Comparamos con el valor obtenido anteriormente para la intersección: $$P(A \cap B) = 0.1 \neq 0.08$$ Dado que los valores no coinciden, concluimos que los sucesos son dependientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A y B no son independientes}}$$

**b) La probabilidad de que un determinado jugador de fútbol marque gol desde el punto de penalti es $p = 0.7$. Si lanza 5 penaltis, calcula las siguientes tres probabilidades: de que no marque ningún gol; de que marque por lo menos 2 goles; y de que marque 5 goles. Si lanza 2100 penaltis, calcula la probabilidad de que marque por lo menos 1450 goles. Se está asumiendo que los lanzamientos son sucesos independientes.** Definimos la variable aleatoria $X$: "número de goles marcados en 5 lanzamientos". Como cada lanzamiento es independiente y tiene una probabilidad constante $p=0.7$, $X$ sigue una distribución binomial: $$X \sim B(n=5, p=0.7)$$ La fórmula de la probabilidad binomial es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. 1. **No marque ningún gol ($X=0$):** $$P(X=0) = \binom{5}{0} (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00243 = 0.00243$$ 2. **Marque 5 goles ($X=5$):** $$P(X=5) = \binom{5}{5} (0.7)^5 (0.3)^0 = 1 \cdot 0.16807 \cdot 1 = 0.16807$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{0}$ y $\binom{n}{n}$ siempre valen 1. $$\boxed{P(X=0) = 0.00243, \quad P(X=5) = 0.16807}$$

Calculamos $P(X \ge 2)$. Es más sencillo usar el suceso contrario: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Ya tenemos $P(X=0) = 0.00243$. Calculamos $P(X=1)$: $$P(X=1) = \binom{5}{1} (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 \cdot 0.7 \cdot 0.0081 = 0.02835$$ Entonces: $$P(X \ge 2) = 1 - (0.00243 + 0.02835) = 1 - 0.03078 = 0.96922$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0.96922}$$

Ahora tenemos $n = 2100$ y $p = 0.7$. Calculamos los parámetros para la aproximación: - Media: $\mu = n \cdot p = 2100 \cdot 0.7 = 1470$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{2100 \cdot 0.7 \cdot 0.3} = \sqrt{441} = 21$ Como $n \cdot p > 5$ y $n \cdot q > 5$, podemos aproximar por una normal $X' \sim N(1470, 21)$. Queremos calcular $P(X \ge 1450)$. Aplicamos la **corrección por continuidad de Yates**: $$P(X \ge 1450) \approx P(X' \ge 1449.5)$$ Tipificamos la variable $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left( Z \ge \frac{1449.5 - 1470}{21} \right) = P\left( Z \ge \frac{-20.5}{21} \right) \approx P(Z \ge -0.98)$$ Por simetría de la normal: $$P(Z \ge -0.98) = P(Z \le 0.98)$$ Buscando en las tablas de la normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le 0.98) = 0.8365$$ 💡 **Tip:** Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), sumamos o restamos $0.5$ al valor límite para incluir el rectángulo completo de la probabilidad. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(X \ge 1450) \approx 0.8365}$$