Intersección de recta y plano. Plano perpendicular. Posición relativa y ángulo entre planos

**a) Para el plano $\pi: 3x + 2y - z = 0$ y la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z}{3}$, calcular el punto de corte de $r$ con $\pi$ y obtener la ecuación implícita del plano $\pi^*$ que es perpendicular a $\pi$ y contiene a $r$.** Primero, identificamos los elementos de la recta y el plano: - Del plano $\pi$, su vector normal es $\vec{n_\pi} = (3, 2, -1)$. - De la recta $r$, obtenemos un punto $P_r(2, -1, 0)$ y su vector director $\vec{v_r} = (1, -2, 3)$. Para hallar el punto de corte $P = r \cap \pi$, expresamos la recta en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 - 2\lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección de una recta y un plano, lo más sencillo es sustituir las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano.

Sustituimos las coordenadas genéricas de la recta en la ecuación de $\pi$: $$3(2 + \lambda) + 2(-1 - 2\lambda) - (3\lambda) = 0$$ Operamos para despejar $\lambda$: $$6 + 3\lambda - 2 - 4\lambda - 3\lambda = 0$$ $$4 - 4\lambda = 0 \implies 4\lambda = 4 \implies \lambda = 1$$ Ahora, sustituimos $\lambda = 1$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener el punto $P$: $$x = 2 + 1 = 3$$ $$y = -1 - 2(1) = -3$$ $$z = 3(1) = 3$$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{P(3, -3, 3)}$$

Buscamos un plano $\pi^*$ que cumpla dos condiciones: 1. Contiene a la recta $r$: por tanto, contiene al punto $P_r(2, -1, 0)$ y el vector $\vec{v_r} = (1, -2, 3)$ es paralelo al plano. 2. Es perpendicular a $\pi$: por tanto, el vector normal de $\pi$, $\vec{n_\pi} = (3, 2, -1)$, también es paralelo al plano $\pi^*$. El vector normal de $\pi^*$, al ser perpendicular a ambos, se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n_{\pi^*}} = \vec{v_r} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n_{\pi^*}} = \vec{i}[(-2)(-1) - (3)(2)] - \vec{j}[(1)(-1) - (3)(3)] + \vec{k}[(1)(2) - (-2)(3)]$$ $$\vec{n_{\pi^*}} = \vec{i}(2 - 6) - \vec{j}(-1 - 9) + \vec{k}(2 + 6) = -4\vec{i} + 10\vec{j} + 8\vec{k}$$ $$\vec{n_{\pi^*}} = (-4, 10, 8)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-2$ para trabajar con números menores: $\vec{n_{\pi^*}} = (2, -5, -4)$. La ecuación del plano con punto $P_r(2, -1, 0)$ es: $$2(x - 2) - 5(y + 1) - 4(z - 0) = 0$$ $$2x - 4 - 5y - 5 - 4z = 0 \implies 2x - 5y - 4z - 9 = 0$$ ✅ **Resultado (Plano $\pi^*$):** $$\boxed{\pi^*: 2x - 5y - 4z - 9 = 0}$$

**b) Estudiar la posición relativa de los planos $\pi_1: 2x - 5y - 4z - 9 = 0$ y $\pi_2: x = 0$, y calcular el ángulo $\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]$ que forman.** Identificamos los vectores normales: - $\vec{n_1} = (2, -5, -4)$ - $\vec{n_2} = (1, 0, 0)$ Comparamos sus componentes para ver si son proporcionales: $$\frac{2}{1} \neq \frac{-5}{0}$$ Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\text{Los planos } \pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ son secantes (se cortan en una recta).}}$$

El ángulo $\alpha$ que forman dos planos es el ángulo que forman sus vectores normales, definido por: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$$ Calculamos el producto escalar y los módulos: - $|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = |(2)(1) + (-5)(0) + (-4)(0)| = |2| = 2$ - $|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 25 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ - $|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$ Sustituimos: $$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{45} \cdot 1} = \frac{2}{3\sqrt{5}} \approx 0.2981$$ Calculamos el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{45}}\right) \approx 72.65^\circ$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos planos siempre se da en el intervalo $[0^\circ, 90^\circ]$, por eso usamos el valor absoluto en el producto escalar. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha \approx 72.65^\circ}$$