Optimización de un triángulo rectángulo y teoremas de Bolzano y Rolle

**a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola $y = 4 - x^2$, un cateto sobre el eje $X$ y el otro paralelo al eje $Y$, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.** Primero, definimos los vértices del triángulo basándonos en el enunciado: 1. El origen: $O(0, 0)$. 2. Un punto sobre la parábola en el primer cuadrante: $P(x, y) = (x, 4 - x^2)$. 3. Como un cateto está sobre el eje $X$ y el otro es paralelo al eje $Y$, el tercer vértice debe ser la proyección de $P$ sobre el eje $X$: $Q(x, 0)$. Los catetos del triángulo rectángulo son: - Base (cateto horizontal): $c_1 = x$ - Altura (cateto vertical): $c_2 = y = 4 - x^2$ Como estamos en el primer cuadrante, se debe cumplir que $x \gt 0$ y $y \gt 0$. La parábola corta al eje $X$ en $4 - x^2 = 0 \implies x = 2$. Por tanto, el dominio de nuestra variable es $x \in (0, 2)$. 💡 **Tip:** Dibuja siempre los elementos sobre unos ejes coordenados para visualizar las dimensiones en función de $x$.

La función que queremos maximizar es el área del triángulo $A(x)$: $$A(x) = rac{ ext{base} \cdot ext{altura}}{2} = rac{x \cdot (4 - x^2)}{2} = rac{4x - x^3}{2} = 2x - rac{1}{2}x^3$$ Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada $A'(x)$: $$A'(x) = rac{d}{dx} \left( 2x - rac{1}{2}x^3 ight) = 2 - rac{3}{2}x^2$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2 - rac{3}{2}x^2 = 0 \implies rac{3}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = rac{4}{3}$$ $$x = \sqrt{rac{4}{3}} = rac{2}{\sqrt{3}} = rac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,155$$ (Tomamos solo el valor positivo por estar en el primer cuadrante). 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función, buscamos los puntos donde la derivada es nula o no existe.

Para comprobar que se trata de un máximo, usamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = rac{d}{dx} \left( 2 - rac{3}{2}x^2 ight) = -3x$$ Evaluamos en nuestro punto crítico $x = rac{2\sqrt{3}}{3}$: $$A''\left(rac{2\sqrt{3}}{3} ight) = -3 \cdot rac{2\sqrt{3}}{3} = -2\sqrt{3} \lt 0$$ Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que existe un **máximo relativo** en ese punto. Calculamos la longitud de los catetos: - **Cateto 1 (base):** $x = rac{2\sqrt{3}}{3} ext{ unidades.}$ - **Cateto 2 (altura):** $y = 4 - x^2 = 4 - rac{4}{3} = rac{12 - 4}{3} = rac{8}{3} ext{ unidades.}$ ✅ **Catetos:** $$\boxed{c_1 = rac{2\sqrt{3}}{3}, \quad c_2 = rac{8}{3}}$$

Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa ($h$): $$h = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} = \sqrt{\left(rac{2\sqrt{3}}{3} ight)^2 + \left(rac{8}{3} ight)^2}$$ $$h = \sqrt{rac{12}{9} + rac{64}{9}} = \sqrt{rac{76}{9}} = rac{\sqrt{4 \cdot 19}}{3} = rac{2\sqrt{19}}{3} \approx 2,906 ext{ unidades.}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{ ext{Catetos: } rac{2\sqrt{3}}{3} ext{ y } rac{8}{3}; \quad ext{Hipotenusa: } rac{2\sqrt{19}}{3}}$$

**b) Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.** **Teorema de Bolzano:** Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si los valores de la función en los extremos del intervalo tienen distinto signo ($f(a) \cdot f(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** Geométricamente, esto significa que si una función continua pasa de un valor negativo a uno positivo (o viceversa), obligatoriamente debe cruzar el eje $X$ en algún punto.

**Teorema de Rolle:** Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes condiciones: 1. Es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Los valores de la función en los extremos son iguales: $f(a) = f(b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que la derivada se anula en dicho punto: $f'(c) = 0$. 💡 **Tip:** Geométricamente, el teorema asegura que existe al menos un punto donde la recta tangente a la curva es horizontal.