Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discute, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $$\begin{cases} x - y + 3z = m \\ my - 2z = -2 \\ x + (m - 1)y + (m + 3)z = m \end{cases}$$** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & m & -2 \\ 1 & m-1 & m+3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & m \\ 0 & m & -2 & -2 \\ 1 & m-1 & m+3 & m \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver qué valores de $m$ anulan su rango.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & m & -2 \\ 1 & m-1 & m+3 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot m \cdot (m+3) + (-1) \cdot (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 0 \cdot (m-1)] - [1 \cdot m \cdot 3 + (m-1) \cdot (-2) \cdot 1 + (m+3) \cdot 0 \cdot (-1)]$$ $$|A| = (m^2 + 3m + 2 + 0) - (3m - 2m + 2 + 0)$$ $$|A| = m^2 + 3m + 2 - m - 2 = m^2 + 2m$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$m^2 + 2m = 0 \implies m(m + 2) = 0$$ Esto nos da dos valores: **$m = 0$** y **$m = -2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será compatible determinado.

Si **$m \neq 0$** y **$m \neq -2$**: El determinante $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de la matriz $A$ es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única.

Si **$m = 0$**: La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & 3 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera fila ($F_1$) y la tercera fila ($F_3$) son idénticas. Por lo tanto, el rango de $A$ y $A^*$ será el mismo. Analizamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_3$ también en la matriz ampliada, **$\text{rg}(A^*) = 2$**. Al cumplirse que **$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$** (incógnitas), el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones.

Si **$m = -2$**: La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \\ 1 & -3 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ estudiando el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 1 & -3 & -2 \end{vmatrix} = (4 + 0 + 6) - (4 + 6 + 0) = 10 - 10 = 0$$ Probamos con las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} -1 & 3 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \\ -3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-4 + 4 + 18) - (-12 + 2 + 12) = 18 - 2 = 16 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, **$\text{rg}(A^*) = 3$**. Como **$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$**, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resumen discusión:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 0, -2: \text{ SCD} \\ m = 0: \text{ SCI} \\ m = -2: \text{ SI} \end{cases}}$$

**b) Resuélvelo, si es posible, en los casos $m = 0$ y $m = 2$.** Para **$m = 0$**, hemos visto que es un SCI. Eliminamos la tercera ecuación (por ser repetida) y nos queda: $$\begin{cases} x - y + 3z = 0 \\ -2z = -2 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: **$z = 1$**. Sustituimos en la primera: $$x - y + 3(1) = 0 \implies x - y = -3 \implies x = y - 3$$ Parametrizamos haciendo $y = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$: ✅ **Solución (m=0):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda - 3, \lambda, 1)}$$

Para **$m = 2$**, el sistema es un SCD. El sistema es: $$\begin{cases} x - y + 3z = 2 \\ 2y - 2z = -2 \\ x + y + 5z = 2 \end{cases}$$ Simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre 2: $y - z = -1 \implies y = z - 1$. Sustituimos $y$ en la primera y tercera ecuación: 1) $x - (z - 1) + 3z = 2 \implies x + 2z = 1$ 3) $x + (z - 1) + 5z = 2 \implies x + 6z = 3$ Restamos la ecuación (3) menos la (1): $$(x + 6z) - (x + 2z) = 3 - 1 \implies 4z = 2 \implies z = \frac{1}{2}$$ Ahora calculamos $x$ e $y$: $$x = 1 - 2z = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - 1 = 0$$ $$y = z - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Solución (m=2):** $$\boxed{(x, y, z) = \left(0, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)}$$