Probabilidad condicionada y distribución normal

**a) La probabilidad de que un chico recuerde regar su rosal durante una cierta semana es de $\frac{2}{3}$. Si se riega, el rosal sobrevive con probabilidad 0.7; si no, lo hace con probabilidad 0.2. Al finalizar la semana, el rosal ha sobrevivido. ¿Cuál es la probabilidad de que el chico no lo haya regado?** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $R$: El chico recuerda regar el rosal. - $\bar{R}$: El chico no recuerda regar el rosal. - $S$: El rosal sobrevive. - $\bar{S}$: El rosal no sobrevive. Organizamos los datos proporcionados en un diagrama de árbol para visualizar las probabilidades: 💡 **Tip:** El diagrama de árbol ayuda a identificar rápidamente las probabilidades condicionadas. Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo debe ser 1.

Nos piden calcular la probabilidad de que no lo haya regado sabiendo que ha sobrevivido, es decir, la probabilidad condicionada $P(\bar{R}|S)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(\bar{R}|S) = \frac{P(\bar{R} \cap S)}{P(S)} = \frac{P(\bar{R}) \cdot P(S|\bar{R})}{P(S)}$$ Primero, calculamos la probabilidad total de que el rosal sobreviva, $P(S)$, usando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(S) = P(R) \cdot P(S|R) + P(\bar{R}) \cdot P(S|\bar{R})$$ $$P(S) = \left(\frac{2}{3} \cdot 0.7\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot 0.2\right) = \frac{1.4}{3} + \frac{0.2}{3} = \frac{1.6}{3}$$ Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(\bar{R}|S) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0.2}{\frac{1.6}{3}} = \frac{0.2}{1.6} = \frac{1}{8} = 0.125$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{R}|S) = 0.125}$$ 💡 **Tip:** En problemas donde se conoce el resultado final (el rosal sobrevivió) y se pregunta por una causa previa (¿lo regó?), casi siempre se utiliza el Teorema de Bayes.

**b) Una fábrica produce piezas cuyo grosor sigue una distribución normal de media 8 cm y desviación típica 0.01 cm. Calcula la probabilidad de que una pieza tenga un grosor comprendido entre 7.98 y 8.02 cm.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el grosor de las piezas en cm. Según el enunciado: $$X \sim N(\mu=8, \sigma=0.01)$$ Queremos calcular la probabilidad $P(7.98 \le X \le 8.02)$. Para resolverlo con las tablas de la normal estándar, debemos **tipificar** la variable usando el cambio $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(7.98 \le X \le 8.02) = P\left(\frac{7.98 - 8}{0.01} \le Z \le \frac{8.02 - 8}{0.01}\right)$$ Operamos en los límites: $$P\left(\frac{-0.02}{0.01} \le Z \le \frac{0.02}{0.01}\right) = P(-2 \le Z \le 2)$$ 💡 **Tip:** Tipificar consiste en centrar la distribución en 0 y escalar su dispersión a 1 para poder usar valores tabulados.

Descomponemos la probabilidad del intervalo utilizando las propiedades de la función de distribución: $$P(-2 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le -2)$$ Como la distribución normal es simétrica: $$P(Z \le -2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Sustituyendo en la expresión anterior: $$P(Z \le 2) - [1 - P(Z \le 2)] = 2 \cdot P(Z \le 2) - 1$$ Buscamos el valor de $P(Z \le 2)$ en la tabla de la distribución $N(0,1)$: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ Finalmente: $$P(7.98 \le X \le 8.02) = 2 \cdot 0.9772 - 1 = 1.9544 - 1 = 0.9544$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(7.98 \le X \le 8.02) = 0.9544}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=normaldist(8, 0.01).pdf(x)", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "7.98 \\le x \\le 8.02 \\left\\{0 \\le y \\le normaldist(8, 0.01).pdf(x)\\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": 7.95, "right": 8.05, "bottom": -10, "top": 45 } } }