Posición relativa de planos, puntos alineados y perpendicularidad

**a) Estudiar la posición relativa de los planos $\pi_1: x + my + z + 2 = 0$ y $\pi_2: mx + y + z + m = 0$ en función de $m$.** Para estudiar la posición relativa de dos planos, analizamos el sistema formado por sus ecuaciones: $$\begin{cases} x + my + z = -2 \\ mx + y + z = -m \end{cases}$$ Consideramos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad M^* = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 & -2 \\ m & 1 & 1 & -m \end{pmatrix}$$ Los planos pueden ser coincidentes (rango $M=1$, rango $M^*=1$), paralelos (rango $M=1$, rango $M^*=2$) o secantes en una recta (rango $M=2$, rango $M^*=2$). Analizamos cuándo el rango de $M$ es menor que $2$ igualando sus menores de orden $2$ a cero: $$\begin{vmatrix} 1 & m \\ m & 1 \end{vmatrix} = 1 - m^2 = 0 \implies m = \pm 1$$ $$\begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = m - 1 = 0 \implies m = 1$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ m & 1 \end{vmatrix} = 1 - m = 0 \implies m = 1$$ 💡 **Tip:** El rango de la matriz de coeficientes $M$ será $1$ si y solo si todos los menores de orden 2 son nulos. Esto solo ocurre para $m=1$.

**Caso 1: Si $m = 1$** Las matrices quedan: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad M^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ El rango de $M$ es $1$ (filas iguales). Para $M^*$, el menor $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 2 = 1 \neq 0$, por lo que el rango de $M^*$ es $2$. Como $\text{rang}(M) = 1 \neq \text{rang}(M^*) = 2$, los planos son **paralelos**. **Caso 2: Si $m \neq 1$** Al menos uno de los menores de orden $2$ de $M$ es distinto de cero. Por tanto, $\text{rang}(M) = 2$ y, como $M^*$ solo tiene dos filas, $\text{rang}(M^*) = 2$. Como $\text{rang}(M) = \text{rang}(M^*) = 2$, los planos son **secantes** y se cortan en una recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m=1: & \text{Planos paralelos} \\ \text{Si } m \neq 1: & \text{Planos secantes en una recta} \end{cases}}$$

**b) Calcular el valor que deben tomar $k$ y $m$ para que los puntos $A(0, k, 1), B(-1, 2, 1)$ y $C(8, 1, m)$ estén alineados.** Tres puntos $A, B$ y $C$ están alineados si los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ son proporcionales. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 0, 2 - k, 1 - 1) = (-1, 2-k, 0)$$ $$\vec{BC} = C - B = (8 - (-1), 1 - 2, m - 1) = (9, -1, m-1)$$ Para que sean proporcionales: $$\frac{-1}{9} = \frac{2-k}{-1} = \frac{0}{m-1}$$ 💡 **Tip:** Si una componente de un vector es cero, la componente correspondiente del vector proporcional también debe ser cero (si la constante de proporcionalidad es distinta de cero).

De la última igualdad: $$\frac{0}{m-1} = -\frac{1}{9} \implies 0 = -\frac{1}{9}(m-1) \implies m-1 = 0 \implies m = 1$$ De la primera igualdad: $$-\frac{1}{9} = \frac{2-k}{-1} \implies 1 = 9(2-k) \implies 1 = 18 - 9k \implies 9k = 17 \implies k = \frac{17}{9}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = \frac{17}{9}, \quad m = 1}$$

**c) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por los puntos $P(-1, 2, 1)$ y $Q(8, 1, 1)$...** Para la recta $r$, necesitamos un punto (usaremos $P$) y un vector director $\vec{v}_r = \vec{PQ}$. $$\vec{v}_r = Q - P = (8 - (-1), 1 - 2, 1 - 1) = (9, -1, 0)$$ Las ecuaciones paramétricas son: $$\begin{cases} x = x_P + v_x \lambda \\ y = y_P + v_y \lambda \\ z = z_P + v_z \lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 + 9\lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (recta $r$):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = -1 + 9\lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}}$$

**...y la ecuación implícita del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $R(1, 1, 1)$.** Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ es el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (9, -1, 0)$$ La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes de $\vec{n}_\pi$: $$9x - 1y + 0z + D = 0 \implies 9x - y + D = 0$$ Como el plano pasa por $R(1, 1, 1)$, este punto debe cumplir la ecuación: $$9(1) - 1 + D = 0 \implies 8 + D = 0 \implies D = -8$$ ✅ **Resultado (plano):** $$\boxed{9x - y - 8 = 0}$$