Estudio de función y áreas con parábola y tangentes

**a) Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de la función $f(x) = x^2 \ln x$.** Primero, determinamos el dominio de la función. Debido a la presencia del logaritmo neperiano, el argumento debe ser estrictamente positivo: $$\text{Dom}(f) = (0, +\infty)$$ Calculamos la primera derivada utilizando la regla del producto: $$f'(x) = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$$ Simplificando: $$f'(x) = x(2\ln x + 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí $u = x^2$ y $v = \ln x$.

Para hallar los extremos relativos, buscamos los valores donde $f'(x) = 0$ dentro del dominio: $$x(2\ln x + 1) = 0$$ Como $x > 0$ en el dominio, la única solución posible es: $$2\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.606$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, e^{-1/2}) & e^{-1/2} & (e^{-1/2}, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0, e^{-1/2})$, $f'(x) < 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. - En $(e^{-1/2}, +\infty)$, $f'(x) > 0$, por lo que $f$ es **creciente**. Calculamos la ordenada del extremo relativo: $$f(e^{-1/2}) = (e^{-1/2})^2 \ln(e^{-1/2}) = e^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e} \approx -0.184$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (e^{-1/2}, +\infty) \\ &\text{Decrecimiento: } (0, e^{-1/2}) \\ &\text{Mínimo relativo: } \left(e^{-1/2}, -\frac{1}{2e}\right) \end{aligned}}$$

**b) Considérese un triángulo tal que: dos de sus vértices son el origen $O(0,0)$ y el punto $P(1,3)$, uno de sus lados está sobre el eje $X$ y otro sobre la tangente en $P(1,3)$ a la gráfica de la parábola $y = 4 - x^2$.** Sea $g(x) = 4 - x^2$. Para hallar la recta tangente en $P(1,3)$, calculamos la pendiente mediante la derivada: $$g'(x) = -2x \implies m = g'(1) = -2(1) = -2$$ Usamos la fórmula de la recta punto-pendiente en $P(1,3)$: $$y - 3 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 2 + 3 \implies y = -2x + 5$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto $a$ es $y - g(a) = g'(a)(x - a)$.

El enunciado indica que uno de los lados está sobre el eje $X$ ($y=0$). El tercer vértice, que llamaremos $Q$, es el punto de intersección entre el eje $X$ y la recta tangente hallada anteriormente: $$-2x + 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$$ Por tanto, las coordenadas del tercer vértice son: $$\boxed{Q(2.5, 0)}$$ Los tres vértices del triángulo son $O(0,0)$, $P(1,3)$ y $Q(2.5, 0)$. El triángulo está delimitado por el eje $X$ ($y=0$), el segmento $OP$ (recta $y=3x$) y el segmento $PQ$ (recta $y=-2x+5$).

Para visualizar la división del triángulo por la parábola, representamos los elementos: - Triángulo: Vértices $(0,0)$, $(1,3)$, $(2.5,0)$. - Parábola: $y = 4 - x^2$ (pasa por $(1,3)$ y corta al eje $X$ en $x=2$). En el intervalo $[0,1]$, el triángulo está limitado superiormente por $y=3x$. En $[1,2.5]$, está limitado por $y=-2x+5$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "parabola", "latex": "y = 4 - x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "lado1", "latex": "y = \\{0 \\le x \\le 1: 3x\\}", "color": "#111827" }, { "id": "lado2", "latex": "y = \\{1 \\le x \\le 2.5: -2x + 5\\}", "color": "#111827" }, { "id": "base", "latex": "y = \\{0 \\le x \\le 2.5: 0\\}", "color": "#111827" }, { "id": "region1", "latex": "0 \\le y \\le \\{x < 1: 3x, 4 - x^2\\} \\{0 \\le x \\le 2\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "region2", "latex": "\\{1 \\le x \\le 2: 4-x^2, 2 \\le x \\le 2.5: 0\\} \\le y \\le -2x+5", "color": "#fca5a5" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 3.5, "bottom": -1, "top": 5 } } }

La parábola $y = 4-x^2$ divide al triángulo en dos regiones. La primera región ($A_1$) está limitada por el eje $X$, el segmento $OP$ hasta $x=1$ y la propia parábola desde $x=1$ hasta su corte con el eje $X$ en $x=2$: $$A_1 = \int_0^1 3x \, dx + \int_1^2 (4 - x^2) \, dx$$ Calculamos por separado: $$\int_0^1 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{3}{2} = 1.5$$ $$\int_1^2 (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( 4 - \frac{1}{3} \right) = \frac{16}{3} - \frac{11}{3} = \frac{5}{3}$$ Sumamos ambas partes: $$A_1 = \frac{3}{2} + \frac{5}{3} = \frac{9 + 10}{6} = \frac{19}{6} \approx 3.167 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A_1 = \frac{19}{6} \text{ u}^2}$$

La segunda región ($A_2$) es la que queda entre el lado $PQ$ (la tangente) y la parábola (entre $x=1$ y $x=2$), más el pequeño triángulo al final entre $x=2$ y $x=2.5$: $$A_2 = \int_1^2 [(-2x + 5) - (4 - x^2)] \, dx + \int_2^{2.5} (-2x + 5) \, dx$$ Simplificamos el integrando de la primera integral: $(-2x + 5) - (4 - x^2) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ Calculamos: $$\int_1^2 (x - 1)^2 \, dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_1^2 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$$ $$\int_2^{2.5} (-2x + 5) \, dx = \left[ -x^2 + 5x \right]_2^{2.5} = (-6.25 + 12.5) - (-4 + 10) = 6.25 - 6 = 0.25 = \frac{1}{4}$$ Sumamos: $$A_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12} \approx 0.583 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Como comprobación, el área total del triángulo debe ser $A_1 + A_2 = \frac{19}{6} + \frac{7}{12} = \frac{38 + 7}{12} = \frac{45}{12} = 3.75$. La base es $2.5$ y la altura es $3$, por lo que $\text{Área} = \frac{2.5 \cdot 3}{2} = 3.75$. ¡Correcto! ✅ **Resultado:** $$\boxed{A_2 = \frac{7}{12} \text{ u}^2}$$