Ecuaciones matriciales e inversión de matrices

**a) Despeja $X$ en la ecuación $XA + B = C$, sabiendo que $A$ es una matriz invertible.** Para despejar $X$, debemos dejarla sola en un miembro de la igualdad siguiendo las propiedades del álgebra matricial: 1. Restamos la matriz $B$ en ambos lados de la ecuación: $$XA = C - B$$ 2. Como nos indican que la matriz $A$ es invertible (existe $A^{-1}$), multiplicamos por $A^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros. El orden es crucial ya que el producto de matrices no es conmutativo: $$(XA)A^{-1} = (C - B)A^{-1}$$ 3. Aplicamos la propiedad asociativa y la definición de matriz inversa ($AA^{-1} = I$): $$X(AA^{-1}) = (C - B)A^{-1}$$ $$XI = (C - B)A^{-1}$$ Como cualquier matriz multiplicada por la identidad $I$ es ella misma: $$\boxed{X = (C - B)A^{-1}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en ecuaciones matriciales no se puede "pasar dividiendo". Debes multiplicar por la inversa en el lado correcto (izquierda o derecha) donde se encuentre la matriz que quieres eliminar.

**b) Calcula $X$ tal que $XA + B = C$ si $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.** Primero, calculamos la matriz resultante de la operación $C - B$ restando elemento a elemento: $$C - B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \\ 2 - 1 & 1 - 2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{C - B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A^{-1}$, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. 1. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (2 \cdot 4) - (1 \cdot 3) = 8 - 3 = 5$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. 2. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = 4$ - $A_{12} = -3$ - $A_{21} = -1$ - $A_{22} = 2$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ 4. Obtenemos la inversa: $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2\times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo a la secundaria y dividir todo por el determinante.

Sustituimos los resultados anteriores en la expresión despejada $X = (C - B)A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} (-1)(4) + (1)(-3) & (-1)(-1) + (1)(2) \\ (1)(4) + (-1)(-3) & (1)(-1) + (-1)(2) \\ (1)(4) + (-1)(-3) & (1)(-1) + (-1)(2) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -4 - 3 & 1 + 2 \\ 4 + 3 & -1 - 2 \\ 4 + 3 & -1 - 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ 7 & -3 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}$$ Dividiendo cada elemento entre 5: ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -7/5 & 3/5 \\ 7/5 & -3/5 \\ 7/5 & -3/5 \end{pmatrix}}$$