Distribución Normal: Estaturas de una población

**a) ¿Qué porcentaje de habitantes miden entre $170$ y $185 \text{ cm}$? (1 punto)** Primero definimos la variable aleatoria $X$ que representa la estatura de los habitantes en cm. Según el enunciado, sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(170, 10)$$ Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ En este apartado, nos piden calcular la probabilidad $P(170 \le X \le 185)$. 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ que suelen venir en los exámenes.

Tipificamos los valores del intervalo: - Para $x = 170 \implies z = \frac{170 - 170}{10} = 0$ - Para $x = 185 \implies z = \frac{185 - 170}{10} = 1.5$ La probabilidad solicitada es: $$P(170 \le X \le 185) = P(0 \le Z \le 1.5)$$ Utilizamos la propiedad del intervalo $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$: $$P(0 \le Z \le 1.5) = P(Z \le 1.5) - P(Z \le 0)$$ Buscamos los valores en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1.5) = 0.9332$ - $P(Z \le 0) = 0.5000$ Realizamos la resta: $$P(Z \le 1.5) - P(Z \le 0) = 0.9332 - 0.5 = 0.4332$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por $100$: $$0.4332 \cdot 100 = 43.32 \%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{43.32 \%}$$

**b) ¿A partir de qué altura están el $33 \%$ de los habitantes más altos? (1 punto)** Buscamos un valor de altura $h$ tal que la probabilidad de que un habitante sea más alto que $h$ sea del $33 \%$, es decir, $0.33$: $$P(X \gt h) = 0.33$$ Como las tablas de la normal suelen trabajar con probabilidades acumuladas hacia la izquierda (menor o igual), transformamos la expresión usando el suceso contrario: $$P(X \le h) = 1 - 0.33 = 0.67$$ Tipificamos el valor $h$: $$P\left(Z \le \frac{h - 170}{10}\right) = 0.67$$ Llamaremos $z_0 = \frac{h - 170}{10}$ al valor que debemos buscar en el interior de la tabla de la normal. 💡 **Tip:** Cuando te dan el porcentaje o la probabilidad y te piden el valor de $X$, es un ejercicio de 'búsqueda inversa' en la tabla.

Buscamos en la tabla de la $N(0,1)$ el valor de $z_0$ cuya probabilidad acumulada sea lo más próxima posible a $0.67$: - En la tabla observamos que para $z = 0.43 \to P(Z \le 0.43) = 0.6664$ - Para $z = 0.44 \to P(Z \le 0.44) = 0.6700$ El valor exacto que corresponde a $0.67$ es **$z_0 = 0.44$**. Ahora, deshacemos la tipificación para hallar $h$: $$0.44 = \frac{h - 170}{10}$$ $$0.44 \cdot 10 = h - 170$$ $$4.4 = h - 170$$ $$h = 170 + 4.4 = 174.4 \text{ cm}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{174.4 \text{ cm}}$$