Integral racional de fracciones simples

Nos encontramos ante una **integral racional** donde el grado del numerador (1) es menor que el grado del denominador (2). Para resolverla, primero debemos factorizar el denominador $x^2 + 2x - 3$. Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 + 2x - 3 = 0$: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$ Por tanto, el denominador se factoriza como: $$\boxed{x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea menor que el del denominador, intentamos descomponer en fracciones simples factorizando el denominador.

Como las raíces del denominador son reales y distintas, podemos descomponer la fracción original en una suma de fracciones simples de la forma: $$\frac{5x + 3}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$$ Para hallar los valores de $A$ y $B$, sumamos las fracciones e igualamos los numeradores: $$\frac{5x + 3}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{A(x + 3) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)}$$ Igualando los numeradores tenemos: $$5x + 3 = A(x + 3) + B(x - 1)$$

Para hallar $A$ y $B$, damos a $x$ los valores de las raíces halladas anteriormente: - Si **$x = 1$**: $$5(1) + 3 = A(1 + 3) + B(1 - 1) \implies 8 = 4A \implies \mathbf{A = 2}$$ - Si **$x = -3$**: $$5(-3) + 3 = A(-3 + 3) + B(-3 - 1) \implies -15 + 3 = -4B \implies -12 = -4B \implies \mathbf{B = 3}$$ Sustituyendo estos valores en nuestra descomposición: $$\frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 3}$$ 💡 **Tip:** Sustituir las raíces del denominador es el método más rápido para anular términos y despejar las constantes.

Sustituimos la expresión descompuesta en la integral original y aplicamos la propiedad de linealidad (la integral de la suma es la suma de las integrales): $$\int \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} dx = \int \left( \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 3} \right) dx = 2 \int \frac{1}{x - 1} dx + 3 \int \frac{1}{x + 3} dx$$ Ambas integrales son de tipo logarítmico inmediato: $$\int \frac{1}{x + a} dx = \ln|x + a| + C$$ Por tanto: $$I = 2\ln|x - 1| + 3\ln|x + 3| + C$$ Podemos expresar el resultado de forma más compacta usando las propiedades de los logaritmos ($n\ln a = \ln a^n$ y $\ln a + \ln b = \ln(a \cdot b)$): $$I = \ln(x - 1)^2 + \ln|x + 3|^3 + C = \ln |(x-1)^2 (x+3)^3| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} dx = 2\ln|x - 1| + 3\ln|x + 3| + C}$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca añadir la constante de integración $C$ en las integrales indefinidas.