Estudio de la monotonía de una función exponencial

Para estudiar la monotonía de una función, el primer paso es determinar su dominio y calcular su primera derivada $f'(x)$. La función $f(x) = x^2 e^x$ es el producto de una función polinómica ($x^2$) y una función exponencial ($e^x$). Ambas son continuas y derivables en toda la recta real, por lo que el dominio de $f(x)$ es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Calculamos la derivada usando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)'$$ $$f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x$$ Factorizamos la expresión para facilitar el estudio del signo: $$\boxed{f'(x) = e^x (x^2 + 2x)}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una exponencial en una derivada, factorízala. Como $e^x$ nunca es cero ni negativa, el signo de la derivada dependerá exclusivamente del otro factor.

Los puntos críticos son aquellos donde la derivada es cero (candidatos a extremos relativos) o no existe. Como $f'(x)$ existe para todo $x \in \mathbb{R}$, buscamos los valores que anulan la derivada: $$f'(x) = 0 \implies e^x (x^2 + 2x) = 0$$ Como $e^x \gt 0$ para cualquier valor de $x$, la igualdad solo se cumple si: $$x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: $$x_1 = 0$$ $$x_2 = -2$$ Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos de estudio: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ y $(0, +\infty)$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo para determinar si la función crece o decrece. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline x^2+2x & + & 0 & - & 0 & + \\ e^x & + & + & + & + & + \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Justificación de los signos: - En $(-\infty, -2)$, probamos con $x = -3$: $f'(-3) = e^{-3}(9-6) \gt 0$. - En $(-2, 0)$, probamos con $x = -1$: $f'(-1) = e^{-1}(1-2) \lt 0$. - En $(0, +\infty)$, probamos con $x = 1$: $f'(1) = e^1(1+2) \gt 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función es creciente y si $f'(x) \lt 0$ es decreciente.

A partir del análisis anterior, concluimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: - La función es **creciente** en los intervalos donde $f'(x) \gt 0$: $$\boxed{(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)}$$ - La función es **decreciente** en el intervalo donde $f'(x) \lt 0$: $$\boxed{(-2, 0)}$$ Además, aunque el enunciado solo pide monotonía, observamos que en $x = -2$ hay un máximo relativo y en $x = 0$ un mínimo relativo.