Plano perpendicular a un segmento en su punto medio

Para hallar el plano solicitado, primero necesitamos determinar las coordenadas del punto medio $M$ del segmento $AB$, ya que el enunciado indica que el plano pasa por dicho punto. Dados $A = (1, 0, 2)$ y $B = (3, -2, -2)$, el punto medio $M$ se calcula como la semisuma de sus coordenadas: $$M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right)$$ Sustituyendo los valores: $$M = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{0 + (-2)}{2}, \frac{2 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{0}{2} \right)$$ Por tanto: $$\boxed{M = (2, -1, 0)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el punto medio es simplemente el promedio aritmético de las coordenadas de los extremos del segmento.

El enunciado establece que el plano es perpendicular al segmento $AB$. Esto significa que el vector director del segmento, $\vec{AB}$, será el **vector normal** $\vec{n}$ del plano. Calculamos las componentes del vector $\vec{AB}$ restando las coordenadas del origen a las del extremo: $$\vec{n} = \vec{AB} = B - A = (3 - 1, -2 - 0, -2 - 2)$$ $$\vec{n} = (2, -2, -4)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo todas sus coordenadas por $2$ para trabajar con números más sencillos, ya que cualquier vector proporcional tendrá la misma dirección: $$\vec{n}' = (1, -1, -2)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación de un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$, los coeficientes $(A, B, C)$ corresponden directamente a las componentes de un vector normal al plano.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}' = (1, -1, -2)$ para escribir la estructura de la ecuación general del plano: $$\pi \equiv 1x - 1y - 2z + D = 0 \implies x - y - 2z + D = 0$$ Para hallar el valor de $D$, imponemos que el plano pase por el punto medio $M(2, -1, 0)$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación: $$2 - (-1) - 2(0) + D = 0$$ $$2 + 1 - 0 + D = 0$$ $$3 + D = 0 \implies D = -3$$ Sustituyendo $D$ en la ecuación general, obtenemos el resultado final: $$\pi \equiv x - y - 2z - 3 = 0$$ (Si hubiéramos usado el vector normal sin simplificar $\vec{n} = (2, -2, -4)$, habríamos obtenido $2x - 2y - 4z - 6 = 0$, que es el mismo plano). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x - y - 2z - 3 = 0}$$