Invertibilidad de una matriz y cálculo de la inversa

**a) Halle los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$ para los que la matriz $A$ tenga inversa. (1 punto)** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & -\lambda & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [3 \cdot 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot \lambda \cdot 0 + 1 \cdot \lambda \cdot (-\lambda)] - [0 \cdot 1 \cdot 1 + (-\lambda) \cdot \lambda \cdot 3 + (-1) \cdot \lambda \cdot (-1)]$$ $$|A| = [-3 + 0 - \lambda^2] - [0 - 3\lambda^2 + \lambda]$$ $$|A| = -3 - \lambda^2 + 3\lambda^2 - \lambda = 2\lambda^2 - \lambda - 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $A^{-1}$, el rango de la matriz debe ser máximo, lo que equivale a que su determinante sea no nulo.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$2\lambda^2 - \lambda - 3 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$$ Obtenemos dos soluciones: $$\lambda_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ $$\lambda_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ Por lo tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $\lambda$ excepto $\frac{3}{2}$ y $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 3/2\}}$$

**b) Halle, si existe, la inversa de la matriz para $\lambda = 1$. (1 punto)** Primero, comprobamos si para $\lambda = 1$ existe la inversa. Según el apartado anterior, como $1 \neq -1$ y $1 \neq 3/2$, la inversa existe. Sustituimos $\lambda = 1$ en el determinante calculado anteriormente: $$|A| = 2(1)^2 - (1) - 3 = 2 - 1 - 3 = -2$$ La matriz $A$ para $\lambda = 1$ es: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$, donde $Adj(A)$ es la matriz de los adjuntos.

Calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij}$: - $A_{11} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - (-1) = 0$ - $A_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1$ - $A_{21} = - \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 - (-1)) = -2$ - $A_{22} = + \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -3 - 0 = -3$ - $A_{23} = - \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 - 0) = 3$ - $A_{31} = + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2$ - $A_{32} = - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(3 - 1) = -2$ - $A_{33} = + \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - (-1) = 4$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & 3 \\ -2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Trasponemos la matriz adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Finalmente, dividimos cada elemento de la matriz traspuesta de los adjuntos por el determinante $|A| = -2$: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1/2 & 3/2 & 1 \\ 1/2 & -3/2 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -2 \end{pmatrix}}$$