Probabilidad y uso de Facebook en el aula

Para resolver este problema de probabilidad, primero definiremos los sucesos y organizaremos la información en una tabla de contingencia que facilite los cálculos. Definimos los sucesos: - $G$: El estudiante es chica. - $B$: El estudiante es chico. - $F$: El estudiante utiliza Facebook. - $\bar{F}$: El estudiante no utiliza Facebook. Datos del enunciado: - Total de chicas: $12$ - Total de chicos: $8$ - Chicas que usan Facebook: $8$ (por tanto, $12 - 8 = 4$ no lo usan) - Chicos que usan Facebook: $6$ (por tanto, $8 - 6 = 2$ no lo usan) - Total de estudiantes: $12 + 8 = 20$ **Tabla de contingencia:** $$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Facebook (F)} & \text{No Facebook (\bar{F})} & \text{Total} \\\hline \text{Chicas (G)} & 8 & 4 & 12 \\ \text{Chicos (B)} & 6 & 2 & 8 \\\hline \text{Total} & 14 & 6 & 20 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas con conteos directos de dos variables (sexo y uso de red social), la tabla de contingencia es a menudo más rápida y visual que el árbol de probabilidad.

**a) Sea chica y utilice Facebook. (1 punto)** Buscamos la probabilidad de la intersección de ser chica ($G$) y usar Facebook ($F$), es decir, $P(G \cap F)$. Utilizando la Regla de Laplace: $$P(G \cap F) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$$ De la tabla observamos que hay **8** chicas que usan Facebook de un total de **20** estudiantes: $$P(G \cap F) = \frac{8}{20}$$ Simplificamos la fracción: $$P(G \cap F) = \frac{2}{5} = 0,4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G \cap F) = 0,4}$$

**b) Sea chico, sabiendo que utiliza Facebook. (1 punto)** Se nos pide la probabilidad de ser chico ($B$) condicionado a que utiliza Facebook ($F$), denotado como $P(B|F)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(B|F) = \frac{P(B \cap F)}{P(F)}$$ Donde: - $P(B \cap F) = \frac{6}{20}$ (chicos que usan Facebook entre el total). - $P(F) = \frac{14}{20}$ (total de personas que usan Facebook entre el total). Sustituimos: $$P(B|F) = \frac{6/20}{14/20} = \frac{6}{14}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 2: $$P(B|F) = \frac{3}{7} \approx 0,4286$$ 💡 **Tip:** También se puede leer directamente de la tabla limitando el espacio muestral a la columna de 'Facebook': hay 14 personas que usan Facebook, de las cuales 6 son chicos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|F) = \frac{3}{7} \approx 0,4286}$$