Área encerrada entre dos parábolas

**a) Represente la región plana encerrada por las funciones $f(x)$ y $g(x)$. (0,5 puntos)** Para representar la región, primero debemos identificar el tipo de funciones y sus puntos de intersección. Ambas son funciones cuadráticas, por lo que sus gráficas son parábolas que abren hacia arriba (ya que el coeficiente de $x^2$ es positivo en ambas). Buscamos los puntos de corte igualando las funciones $f(x) = g(x)$: $$x^2 - 4 = \frac{1}{2}x^2 - 2$$ Agrupamos los términos con $x^2$ en un miembro y los términos independientes en el otro: $$x^2 - \frac{1}{2}x^2 = 4 - 2$$ $$\frac{1}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Los puntos de corte son $(-2, 0)$ y $(2, 0)$, que coinciden con las raíces de ambas funciones. 💡 **Tip:** Los puntos de corte de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ nos indican los límites de integración para calcular el área que encierran.

Para dibujar las parábolas calculamos sus vértices: - Para $f(x) = x^2 - 4$, el vértice está en $(0, -4)$. - Para $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2$, el vértice está en $(0, -2)$. Como $f(x)$ tiene un coeficiente principal mayor ($1 \gt 1/2$), es más "estrecha" que $g(x)$. En el intervalo $(-2, 2)$, la función $g(x)$ queda por encima de $f(x)$. Aquí se muestra la representación de la región encerrada:

**b) Calcule el área de la región anterior. (1,5 puntos)** El área de la región encerrada entre dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte. En el intervalo $[-2, 2]$, comprobamos cuál es la función superior tomando un punto intermedio, por ejemplo $x=0$: $$g(0) = \frac{1}{2}(0)^2 - 2 = -2$$ $$f(0) = 0^2 - 4 = -4$$ Como $-2 \gt -4$, entonces $g(x) \ge f(x)$ en el intervalo. El área $A$ viene dada por: $$A = \int_{-2}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{-2}^{2} \left[ \left( \frac{1}{2}x^2 - 2 \right) - (x^2 - 4) \right] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{-2}^{2} \left( \frac{1}{2}x^2 - x^2 - 2 + 4 \right) \, dx = \int_{-2}^{2} \left( -\frac{1}{2}x^2 + 2 \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es posible que hayas invertido el orden de las funciones (techo menos suelo).

Calculamos la primitiva de la función: $$\int \left( -\frac{1}{2}x^2 + 2 \right) \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + 2x = -\frac{x^3}{6} + 2x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $-2$ y $2$: $$A = \left[ -\frac{x^3}{6} + 2x \right]_{-2}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = -\frac{2^3}{6} + 2(2) = -\frac{8}{6} + 4 = -\frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{8}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-2$): $$F(-2) = -\frac{(-2)^3}{6} + 2(-2) = -\frac{-8}{6} - 4 = \frac{4}{3} - 4 = \frac{4-12}{3} = -\frac{8}{3}$$ Restamos ambos valores: $$A = F(2) - F(-2) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{16}{3} \text{ u}^2 \approx 5,33 \text{ u}^2}$$