Existencia de solución positiva mediante el Teorema de Bolzano

**3. Demuestre que la ecuación $\operatorname{sen}(x^2) = x - 1$ tiene una solución positiva. Razone la respuesta, exponiendo el teorema (o resultado) que justifique la solución. (2 puntos)** Para demostrar que la ecuación tiene una solución, definimos una función auxiliar igualando la expresión a cero. Sea: $$f(x) = \operatorname{sen}(x^2) - (x - 1) = \operatorname{sen}(x^2) - x + 1$$ Resolver la ecuación original es equivalente a encontrar los ceros de esta función, es decir, los valores de $x$ tales que $f(x) = 0$. 💡 **Tip:** Siempre que nos pidan demostrar la existencia de soluciones en una ecuación, el método más directo es aplicar el **Teorema de Bolzano** a una función donde hayamos pasado todos los términos a un miembro.

Para aplicar el Teorema de Bolzano, primero debemos justificar que la función es continua. La función $f(x) = \operatorname{sen}(x^2) - x + 1$ es continua en todo el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) por ser la suma y composición de funciones elementales continuas: - $\operatorname{sen}(x^2)$ es la composición de la función seno y una función cuadrática. - $-x + 1$ es una función polinómica. Por tanto, $f(x)$ será continua en cualquier intervalo cerrado $[a, b]$ que elijamos. ✅ **Propiedad:** Las funciones trigonométricas y polinómicas son continuas en todo su dominio.

Necesitamos encontrar un intervalo $[a, b]$ con valores positivos ($a, b > 0$) donde la función cambie de signo. Evaluamos en algunos puntos sencillos: Para $x = 1$: $$f(1) = \operatorname{sen}(1^2) - 1 + 1 = \operatorname{sen}(1)$$ Como $1$ radián está en el primer cuadrante ($0 < 1 < \pi/2$), sabemos que su seno es positivo: $$f(1) \approx 0.841 > 0$$ Para $x = 2$: $$f(2) = \operatorname{sen}(2^2) - 2 + 1 = \operatorname{sen}(4) - 1$$ Sabemos que la función seno siempre está acotada entre $-1$ y $1$ ($-1 \le \operatorname{sen}(\alpha) \le 1$). Por tanto, $\operatorname{sen}(4) - 1$ siempre será menor o igual que $0$. Específicamente, como $4$ radianes está en el tercer cuadrante: $$f(2) \approx -0.756 - 1 = -1.756 < 0$$ Tenemos un cambio de signo en el intervalo $[1, 2]$. 💡 **Tip:** Si no ves claro el valor de $\operatorname{sen}(4)$, recuerda que el valor máximo del seno es $1$. Por tanto, $\operatorname{sen}(x^2) - 1$ solo puede ser $0$ o negativo.

Enunciamos el **Teorema de Bolzano**: Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. Si los signos de $f(a)$ y $f(b)$ son distintos ($f(a) \cdot f(b) < 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. En nuestro caso: 1. $f(x)$ es continua en $[1, 2]$. 2. $f(1) > 0$ y $f(2) < 0$. Por el Teorema de Bolzano, existe al menos un valor $c \in (1, 2)$ tal que: $$f(c) = 0 \implies \operatorname{sen}(c^2) - c + 1 = 0 \implies \operatorname{sen}(c^2) = c - 1$$ Como $c \in (1, 2)$, queda demostrado que existe una solución **positiva**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Existe } c \in (1, 2) \text{ tal que } \operatorname{sen}(c^2) = c - 1}$$