Geometría en el espacio: ecuación de planos, coplanariedad y áreas de triángulos

**a) Halle la ecuación del plano $\Pi$ determinado por los puntos $A, B$ y $C$. (0,75 puntos)** Para hallar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Utilizaremos el punto $A(0, 0, 2)$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 0 - 0, 1 - 2) = (2, 0, -1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 0, 2 - 0, 1 - 2) = (0, 2, -1)$$ Comprobamos que no son proporcionales, por lo que determinan un plano. 💡 **Tip:** Recuerda que un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ mediante el determinante: $\det(\vec{PX}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$.

Para obtener la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila (Sarrus): $$\vec{n} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(0 - (-2)) - \vec{j}(-2 - 0) + \vec{k}(4 - 0) = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k}$$ $$\vec{n} = (2, 2, 4)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $2$ para facilitar los cálculos: $\vec{n}' = (1, 1, 2)$.

La ecuación del plano será de la forma $1x + 1y + 2z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $A(0, 0, 2)$: $$1(0) + 1(0) + 2(2) + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4$$ Por tanto, la ecuación del plano $\Pi$ es: ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{x + y + 2z - 4 = 0}$$

**b) Demuestre que los cuatro puntos no son coplanarios. (0,5 puntos)** Cuatro puntos son coplanarios si todos pertenecen al mismo plano. Ya conocemos la ecuación del plano $\Pi$ que contiene a $A, B$ y $C$. Basta con comprobar si el punto $D(-2, 2, -1)$ satisface dicha ecuación: Sustituimos $D(-2, 2, -1)$ en $x + y + 2z - 4 = 0$: $$(-2) + (2) + 2(-1) - 4 = -2 + 2 - 2 - 4 = -6$$ Como $-6 \neq 0$, el punto $D$ no pertenece al plano $\Pi$. 💡 **Tip:** Otra forma de hacerlo es calcular el determinante de los vectores $\vec{AB}, \vec{AC}$ y $\vec{AD}$. Si es distinto de cero, el volumen del paralelepípedo es no nulo y, por tanto, no son coplanarios. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Como } D \notin \Pi, \text{ los puntos } A, B, C, D \text{ no son coplanarios.}}$$

**c) Calcule el área del triángulo formado por los puntos $B, C$ y $D$. (0,75 puntos)** El área de un triángulo definido por tres puntos $B, C$ y $D$ se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores de posición relativos: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}|$$ Calculamos los vectores: $$\vec{BC} = C - B = (0 - 2, 2 - 0, 1 - 1) = (-2, 2, 0)$$ $$\vec{BD} = D - B = (-2 - 2, 2 - 0, -1 - 1) = (-4, 2, -2)$$

Hallamos el producto vectorial: $$\vec{w} = \vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 0 \\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{w} = \vec{i} (-4 - 0) - \vec{j} (4 - 0) + \vec{k} (-4 - (-8)) = -4\vec{i} - 4\vec{j} + 4\vec{k}$$ $$\vec{w} = (-4, -4, 4)$$ Calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{w}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$ Finalmente, el área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\text{Área} = 2\sqrt{3} \approx 3,464 \text{ u}^2}$$