Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**1. Discute en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$ el siguiente sistema de ecuaciones:** $$\begin{cases} 3x + 2y + az = 1 \\ ax + y - z = 2 \\ 5x + 3y + z = 2a \end{cases}$$ Para discutir el sistema según el valor de $a$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & a \\ a & 1 & -1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & a & 1 \\ a & 1 & -1 & 2 \\ 5 & 3 & 1 & 2a \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Capelli nos dice que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$ el sistema es compatible, y si además es igual al número de incógnitas, es determinado (solución única).

Calculamos el determinante de $A$ igualándolo a cero para hallar los valores críticos del parámetro $a$. Aplicamos la **regla de Sarrus**: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & a \\ a & 1 & -1 \\ 5 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [3 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 5 + a \cdot a \cdot 3] - [5 \cdot 1 \cdot a + 3 \cdot (-1) \cdot 3 + 1 \cdot a \cdot 2]$$ $$|A| = [3 - 10 + 3a^2] - [5a - 9 + 2a]$$ $$|A| = 3a^2 - 7 - (7a - 9)$$ $$|A| = 3a^2 - 7a + 2$$ Igualamos a cero para encontrar las raíces: $$3a^2 - 7a + 2 = 0$$ $$a = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6}$$ Obtenemos dos valores: $$a_1 = \frac{12}{6} = 2, \quad a_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$\boxed{a = 2, \quad a = \frac{1}{3}}$$

Si $a \neq 2$ y $a \neq \frac{1}{3}$: Como el determinante $|A| \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es igual al orden de la matriz: $$\text{rang}(A) = 3$$ Dado que el rango de la ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 y $A$ está contenida en $A^*$, entonces: $$\text{rang}(A^*) = 3$$ Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$ (que es el número de incógnitas $x, y, z$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 2, \frac{1}{3} \implies \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 2 \\ 5 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ estudiando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} = (12 + 20 + 6) - (5 + 18 + 16) = 38 - 39 = -1 \neq 0$$ Como este determinante es distinto de cero, $\text{rang}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $$\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2 \implies \text{Sistema Incompatible (SI)}}$$

Si $a = \frac{1}{3}$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1/3 & 1 \\ 1/3 & 1 & -1 & 2 \\ 5 & 3 & 1 & 2/3 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1/3 & 1 \end{vmatrix} = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ con el menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1/3 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & 2/3 \end{vmatrix} = (3 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot 2 \cdot 5 + 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3) - (5 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 3 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 2)$$ $$= (2 + 20 + 1) - (5 + 18 + \frac{4}{9}) = 23 - (23 + \frac{4}{9}) = -\frac{4}{9} \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, $\text{rang}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $$\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = \frac{1}{3} \implies \text{Sistema Incompatible (SI)}}$$

Resumiendo la discusión del sistema según los valores del parámetro real $a$: - Si **$a \in \mathbb{R} \setminus \{1/3, 2\}$**, el sistema es **Compatible Determinado**. - Si **$a = 1/3$**, el sistema es **Incompatible**. - Si **$a = 2$**, el sistema es **Incompatible**. 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios, recuerda siempre citar el Teorema de Rouché-Capelli para justificar la clasificación del sistema.