Distribución Binomial: Alumnos de Ingeniería

**(a) la probabilidad de que los 5 alumnos obtengan el grado de ingeniero. (0,75 puntos)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de alumnos que obtienen el grado de ingeniero de un grupo de 5. Estamos ante un experimento de Bernouilli, ya que para cada alumno solo hay dos posibilidades: obtener el grado (éxito) o no obtenerlo (fracaso). Como se eligen 5 alumnos al azar de forma independiente, la variable $X$ sigue una **distribución binomial**. Los parámetros son: - $n = 5$ (número total de alumnos seleccionados). - $p = 0,40 = 0,4$ (probabilidad de éxito: obtener el grado). - $q = 1 - p = 0,6$ (probabilidad de fracaso: no obtener el grado). Por tanto: $X \sim B(5, 0,4)$. 💡 **Tip:** La fórmula general de la probabilidad binomial es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Queremos calcular la probabilidad de que exactamente los 5 alumnos obtengan el grado, es decir, $P(X = 5)$: $$P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot (0,4)^5 \cdot (0,6)^{5-5}$$ Como $\binom{5}{5} = 1$ y $(0,6)^0 = 1$: $$P(X=5) = 1 \cdot (0,4)^5 \cdot 1 = 0,4^5 = 0,01024.$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(X=5) = 0,01024}$$ (También expresado como $1,024 \%$).

**(b) la probabilidad de que como máximo 2 obtengan el grado de ingeniero. (0,75 puntos)** La expresión "como máximo 2" significa que $X$ puede ser 0, 1 o 2. Por tanto, debemos calcular: $$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$ Calculamos cada una por separado: 1. Para $k=0$: $$P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot (0,4)^0 \cdot (0,6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,07776 = 0,07776$$ 2. Para $k=1$: $$P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot (0,4)^1 \cdot (0,6)^4 = 5 \cdot 0,4 \cdot 0,1296 = 0,2592$$ 3. Para $k=2$: $$P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^3 = 10 \cdot 0,16 \cdot 0,216 = 0,3456$$ Sumamos los resultados: $$P(X \le 2) = 0,07776 + 0,2592 + 0,3456 = 0,68256$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(X \le 2) = 0,68256}$$

**(c) la media y la desviación típica de la distribución. (0,5 puntos)** Para una distribución binomial $B(n, p)$, las fórmulas de los parámetros estadísticos son: - **Media (Esperanza matemática):** $\mu = n \cdot p$ - **Desviación típica:** $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$ Sustituimos los valores $n=5$, $p=0,4$ y $q=0,6$: 1. Cálculo de la media: $$\mu = 5 \cdot 0,4 = 2$$ 2. Cálculo de la desviación típica: $$\sigma = \sqrt{5 \cdot 0,4 \cdot 0,6} = \sqrt{1,2} \approx 1,09544...$$ 💡 **Tip:** La desviación típica mide la dispersión de los datos respecto a la media. En este caso, de media 2 alumnos se graduarán, con una variabilidad aproximada de 1,1 alumnos. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\mu = 2, \quad \sigma \approx 1,0954}$$