Cálculo de una primitiva de una función racional

Para calcular una primitiva $F(x)$ de la función $f(x)$, debemos resolver la integral indefinida: $$F(x) = \int \frac{x - 3}{x^2 - 1} \, dx$$ Observamos que $f(x)$ es una **función racional** donde el grado del numerador ($1$) es menor que el grado del denominador ($2$). Para resolverla, utilizaremos el método de **descomposición en fracciones simples**. Primero, factorizamos el denominador, que es una diferencia de cuadrados: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ El denominador tiene dos raíces reales simples: $x=1$ y $x=-1$.

Planteamos la descomposición de la fracción original como suma de fracciones con denominadores de primer grado: $$\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$ Para hallar los valores de $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras realizar la suma de fracciones: $$x - 3 = A(x + 1) + B(x - 1)$$ Calculamos las constantes sustituyendo $x$ por las raíces del denominador: - Si **$x = 1$**: $$1 - 3 = A(1 + 1) + B(1 - 1) \implies -2 = 2A \implies \mathbf{A = -1}$$ - Si **$x = -1$**: $$-1 - 3 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) \implies -4 = -2B \implies \mathbf{B = 2}$$ Por tanto, la función se puede escribir como: $$f(x) = \frac{-1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$$ 💡 **Tip:** Este método transforma una fracción compleja en una suma de integrales inmediatas de tipo logarítmico.

Sustituimos la descomposición en la integral y aplicamos la propiedad de linealidad: $$F(x) = \int \left( \frac{-1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} \right) dx = -\int \frac{1}{x - 1} \, dx + 2 \int \frac{1}{x + 1} \, dx$$ Ambas integrales son inmediatas (tipo logaritmo neperiano): $$F(x) = -\ln|x - 1| + 2\ln|x + 1| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$. En este caso, la derivada de $x-1$ y $x+1$ es $1$, que ya está en el numerador. Como el ejercicio pide calcular **una** primitiva $F(x)$, podemos tomar cualquier valor para la constante $C$. Por simplicidad, tomamos **$C = 0$**. Podemos reordenar los términos para una mejor presentación: $$F(x) = 2\ln|x + 1| - \ln|x - 1|$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = 2\ln|x + 1| - \ln|x - 1|}$$