Estudio completo y representación de una función racional

**(a) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de $f(x)$. (1,5 puntos)** Primero, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1.$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Para encontrar las **asíntotas verticales**, estudiamos los límites laterales en $x = -1$ y $x = 1$: Para $x = -1$: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ Para $x = 1$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite en un punto es infinito, existe una asíntota vertical en dicho punto. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{\text{Asíntotas verticales en } x = -1 \text{ y } x = 1}$$

Buscamos las **asíntotas horizontales** calculando el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1.$$ Como el límite es un valor finito, existe una asíntota horizontal en $y = 1$. Al existir asíntota horizontal en ambos sentidos, no existen asíntotas oblicuas. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{\text{Asíntota horizontal en } y = 1}$$

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}.$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & \n.e. & + & 0 & - & \n.e. & - \end{array}$$ - En $(-\infty, -1) \cup (-1, 0)$, $f'(x) > 0$, luego $f(x)$ es **creciente**. - En $(0, 1) \cup (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, luego $f(x)$ es **decreciente**. 💡 **Tip:** El denominador $(x^2-1)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo de $f'(x)$ solo depende del numerador $-2x$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \quad \text{Decreciente: } (0, 1) \cup (1, +\infty)}$$

Basándonos en la tabla anterior, observamos que en $x = 0$ la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Calculamos la ordenada sustituyendo en la función original: $$f(0) = \frac{0^2}{0^2 - 1} = 0.$$ No hay extremos en $x = \pm 1$ porque la función no está definida allí (son asíntotas). ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 0)}$$

**(b) Represente la gráfica de $f(x)$ utilizando el apartado anterior. (0,5 puntos)** Para representar la gráfica, unimos todos los elementos hallados: 1. Dibujamos las asíntotas verticales $x = -1$ y $x = 1$. 2. Dibujamos la asíntota horizontal $y = 1$. 3. Situamos el máximo relativo en el origen $(0, 0)$. 4. Trazamos las ramas siguiendo los límites laterales y la monotonía: - A la izquierda de $x = -1$, la función viene de $y = 1$ y sube a $+\infty$. - Entre las asíntotas verticales, la función sube desde $-\infty$ hasta $(0,0)$ y vuelve a bajar a $-\infty$. - A la derecha de $x = 1$, la función baja de $+\infty$ hacia $y = 1$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x^2}{x^2 - 1}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av1", "latex": "x = -1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "av2", "latex": "x = 1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ah", "latex": "y = 1", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "max", "latex": "(0,0)", "color": "#111827", "showLabel": true, "label": "Máximo (0,0)" } ], "bounds": { "left": -6, "right": 6, "bottom": -4, "top": 6 } } }