Geometría: Plano paralelo a una recta y distancia entre rectas

**(a) Calcule el plano $\Pi$ que contiene a $s$ y es paralelo a $r$. (1 punto)** En primer lugar, determinamos un punto y un vector director para cada una de las rectas dadas. Para la recta $r$ que pasa por $A(0, 0, -1)$ y $B(0, -2, -1)$: - Punto: $P_r = A = (0, 0, -1)$ - Vector director: $\vec{v_r} = \vec{AB} = (0 - 0, -2 - 0, -1 - (-1)) = (0, -2, 0)$ Podemos simplificar el vector director de $r$ dividiendo por $-2$: $\vec{u_r} = (0, 1, 0)$. Para la recta $s$ que pasa por $C(-1, 2, 0)$ y $D(1, 0, -1)$: - Punto: $P_s = C = (-1, 2, 0)$ - Vector director: $\vec{v_s} = \vec{CD} = (1 - (-1), 0 - 2, -1 - 0) = (2, -2, -1)$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ se obtiene como $\vec{v} = Q - P$.

Para que un plano $\Pi$ contenga a la recta $s$ y sea paralelo a la recta $r$, sus vectores directores deben ser el vector director de $s$ ($\vec{v_s}$) y el vector director de $r$ ($\vec{u_r}$). El vector normal al plano $\vec{n_\Pi}$ será el producto vectorial de ambos: $$\vec{n_\Pi} = \vec{v_s} \times \vec{u_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$\vec{n_\Pi} = (0\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) - (0\mathbf{k} - 1\mathbf{i} + 0\mathbf{j}) = \mathbf{i} + 2\mathbf{k} = (1, 0, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ define la orientación del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Como el plano contiene a $s$, debe pasar por el punto $P_s = C(-1, 2, 0)$. Utilizamos la ecuación general del plano con el vector normal $\vec{n_\Pi} = (1, 0, 2)$: $$1(x - (-1)) + 0(y - 2) + 2(z - 0) = 0$$ $$x + 1 + 2z = 0$$ $$x + 2z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\Pi: x + 2z + 1 = 0}$$

**(b) Calcule la distancia entre las rectas $r$ y $s$. (1 punto)** Dado que hemos construido un plano $\Pi$ que contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$, la distancia entre las dos rectas coincide con la distancia desde cualquier punto de la recta $r$ al plano $\Pi$. $$d(r, s) = d(P_r, \Pi)$$ Tomamos el punto $P_r = A = (0, 0, -1)$ y el plano $\Pi: x + 2z + 1 = 0$. 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, la distancia de la recta al plano es constante para todos sus puntos.

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \Pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituyendo los valores de $P_r(0, 0, -1)$ y $\Pi$: $$d(r, s) = \frac{|1\cdot 0 + 0\cdot 0 + 2\cdot (-1) + 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2}}$$ $$d(r, s) = \frac{|-2 + 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, s) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{d(r, s) = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \text{ u.l.}}$$