Discusión de un sistema con un parámetro

Para discutir el sistema según los valores de $a$, primero escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$. $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -a \\ 1 & 1 & 0 \\ a+1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -a & 2 \\ 1 & 1 & 0 & a+1 \\ a+1 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para aplicar el **Teorema de Rouché-Frobenius**, debemos comparar el rango de la matriz de coeficientes $A$ con el rango de la matriz ampliada $A^*$.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -a \\ 1 & 1 & 0 \\ a+1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [2 \cdot 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot (a+1) + (-a) \cdot 1 \cdot 1] - [(a+1) \cdot 1 \cdot (-a) + 1 \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 \cdot 1]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = [-2 + 0 - a] - [-a^2 - a - 1 + 0]$$ $$|A| = -2 - a + a^2 + a + 1$$ $$|A| = a^2 - 1$$ Para hallar los valores críticos de $a$, igualamos el determinante a cero: $$a^2 - 1 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ $$\boxed{|A| = a^2 - 1}$$

Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Dado que contiene a $A$ y $|A| \neq 0$, entonces: $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (número de incógnitas), el sistema es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1 \text{ y } a \neq -1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera fila ($F_1$) y la tercera fila ($F_3$) son idénticas. Por tanto, el determinante de cualquier submatriz de orden 3 que incluya a ambas será cero. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_3$ en toda la matriz ampliada, el rango de $A^*$ también es 2: $$\text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Sustituimos $a = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de la submatriz formada por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = [2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 1] - [0 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$= [4 + 0 + 2] - [0 + 0 + 2] = 6 - 2 = 4 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Resumiendo la discusión según los valores del parámetro $a$: - Si **$a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}$**, el sistema es **Compatible Determinado** (solución única). - Si **$a = 1$**, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). - Si **$a = -1$**, el sistema es **Incompatible** (no tiene solución). 💡 **Tip:** Recuerda que para que un sistema sea compatible, los rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada deben coincidir.