Probabilidad total y Teorema de Bayes en aplicaciones de mensajería

**(a) Calcule la probabilidad de recibir un mensaje de trabajo. (1 punto)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: - $W$: El mensaje es de Whatsapp. - $T$: El mensaje es de Telegram. - $A$: El mensaje es de amigos. - $L$: El mensaje es de trabajo (laboral). Extraemos las probabilidades del enunciado: $P(W) = 0.70$ $P(T) = 0.30$ $P(A|W) = 0.80 \implies P(L|W) = 0.20$ $P(L|T) = 0.80 \implies P(A|T) = 0.20$ Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

Para calcular la probabilidad de recibir un mensaje de trabajo, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un mensaje de trabajo puede llegar por Whatsapp o por Telegram, por lo tanto: $$P(L) = P(W) \cdot P(L|W) + P(T) \cdot P(L|T)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(L) = 0.7 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot 0.8$$ $$P(L) = 0.14 + 0.24 = 0.38$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1 ($0.7 + 0.3 = 1$ y $0.2 + 0.8 = 1$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L) = 0.38}$$ La probabilidad de que un mensaje sea de trabajo es del **$38 \%$**.

**(b) Si el usuario recibe un mensaje de trabajo, calcule la probabilidad de que sea a través del Whatsapp. (1 punto)** Se trata de una probabilidad a posteriori, ya que sabemos que el mensaje es de trabajo ($L$) y queremos hallar la probabilidad de que provenga de Whatsapp ($W$). Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(W|L) = \frac{P(W \cap L)}{P(L)} = \frac{P(W) \cdot P(L|W)}{P(L)}$$ Utilizamos el valor de $P(L)$ obtenido en el apartado anterior: $$P(W|L) = \frac{0.7 \cdot 0.2}{0.38}$$ $$P(W|L) = \frac{0.14}{0.38}$$ Simplificamos la fracción dividiendo por 0.02: $$P(W|L) = \frac{14}{38} = \frac{7}{19} \approx 0.3684$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la condición: pasamos de conocer $P(L|W)$ a calcular $P(W|L)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(W|L) = \frac{7}{19} \approx 0.3684}$$ La probabilidad de que un mensaje de trabajo sea de Whatsapp es de aproximadamente el **$36.84 \%$**.