Representación y área entre una parábola y una recta

**(a) Represente la región plana encerrada por $f(x)$ y $g(x)$. (0,5 puntos)** Para representar la región y conocer los límites de integración, primero buscamos los puntos de intersección de ambas funciones igualando $f(x) = g(x)$: $$x^2 - 2 = x$$ Reordenamos los términos para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos usando la fórmula general: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$ Los puntos de corte son $(-1, -1)$ y $(2, 2)$. 💡 **Tip:** Estos valores de $x$ serán los límites de integración para el cálculo del área en el apartado (b).

Para realizar la representación gráfica, analizamos brevemente cada función: 1. **$f(x) = x^2 - 2$**: Es una parábola convexa (forma de $\cup$) con vértice en el punto $(0, -2)$. 2. **$g(x) = x$**: Es la bisectriz del primer y tercer cuadrante, una recta que pasa por el origen $(0,0)$ con pendiente $m=1$. En el intervalo $[-1, 2]$, observamos que la recta $g(x)$ queda por encima de la parábola $f(x)$, ya que por ejemplo en $x=0$, $g(0)=0$ y $f(0)=-2$. ✅ **Resultado (Representación):** $$\boxed{\text{Gráfica de la región encerrada entre } x=-1 \text{ y } x=2}$$

**(b) Calcule el área de la región anterior. (1,5 puntos)** El área $A$ de la región encerrada entre dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte: $$A = \int_{-1}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx$$ Sustituimos las expresiones de las funciones: $$A = \int_{-1}^{2} [x - (x^2 - 2)] \, dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Es fundamental identificar correctamente qué función es la 'tapa' (superior) y cuál es el 'suelo' (inferior) para que el área resulte positiva.

Calculamos la integral indefinida (primitiva): $$\int (-x^2 + x + 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2) = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{-8 + 18}{3} = \frac{10}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2 + 3 - 12}{6} = -\frac{7}{6}$$ Restamos ambos resultados: $$A = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$$ Homogeneizamos las fracciones: $$A = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 4,5 \text{ u}^2}$$