Continuidad, derivabilidad y extremos de una función a trozos

**(a) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f(x)$. (1,5 puntos)** Primero, analizamos la continuidad de la función en su dominio. La función está definida por dos ramas: - Para $x \lt 0$, $f(x) = e^{-x}$. Es una función exponencial, por lo que es continua en $(-\infty, 0)$. - Para $x \gt 0$, $f(x) = e^x$. También es una función exponencial, continua en $(0, +\infty)$. Estudiamos el punto de salto entre ramas en $x = 0$: 1. Valor de la función: $f(0) = e^0 = 1$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{-x} = e^0 = 1$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^x = e^0 = 1$. Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es continua en $x = 0$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si existen los límites laterales, son iguales entre sí y coinciden con el valor de la función en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Derivamos las ramas de la función para $x \neq 0$: $$f'(x) = \begin{cases} -e^{-x} & \text{si } x \lt 0, \\ e^x & \text{si } x \gt 0. \end{cases}$$ Para que $f(x)$ sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben existir y ser iguales: - Derivada lateral izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} -e^{-x} = -e^0 = -1$. - Derivada lateral derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} e^x = e^0 = 1$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$**. Gráficamente, esto significa que la función presenta un punto anguloso en $x = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la derivabilidad en un punto de salto entre ramas, primero debes asegurar que la función sea continua en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**(b) Estudie si existe un extremo relativo de $f(x)$ en $x = 0$. (0,5 puntos)** Para determinar si existe un extremo relativo, analizamos el signo de la primera derivada $f'(x)$ en las proximidades de $x = 0$. Sabemos que: - Si $x \lt 0$, $f'(x) = -e^{-x}$. Dado que $e^{-x}$ siempre es positivo, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - Si $x \gt 0$, $f'(x) = e^x$. Dado que $e^x$ siempre es positivo, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. Representamos el cambio de signo de $f'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \searrow & 1 & \nearrow \end{array}$$ Como la función es continua en $x=0$, decrece a la izquierda y crece a la derecha, existe un **mínimo relativo** en el punto $(0, f(0))$. 💡 **Tip:** Un extremo relativo puede existir incluso si la función no es derivable en ese punto, siempre que la función sea continua y cambie su monotonía (signo de la derivada). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe un mínimo relativo en } x = 0, \text{ con valor } f(0) = 1}$$