Posición relativa de dos rectas y área del triángulo

**(a) Estudie si las trayectorias de las rectas se cortan, se cruzan o coinciden. (1 punto)** Primero, expresamos la recta $r$ en forma paramétrica para identificar fácilmente un punto $P_r$ y su vector director $\vec{v}_r$. La recta $r$ viene dada por: $r: \begin{cases} x = 1 + y \\ z = 1 \end{cases}$ Si llamamos al parámetro $y = \mu$, obtenemos: $$r: \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = \mu \\ z = 1 \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: $P_r(1, 0, 1)$ - Un vector director: $\vec{v}_r(1, 1, 0)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícita a paramétrica, basta con asignar un parámetro a una de las variables (en este caso $y$) y despejar las demás.

La recta $s$ ya viene dada en su forma paramétrica: $$s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: $P_s(1, 0, 0)$ - Un vector director: $\vec{v}_s(1, 0, 1)$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas, los coeficientes que acompañan al parámetro ($\lambda$) forman el vector director, y los términos independientes forman el punto.

Para estudiar la posición relativa, analizamos la dependencia lineal entre los vectores directores $\vec{v}_r, \vec{v}_s$ y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-1, 0-0, 0-1) = (0, 0, -1)$$ Formamos la matriz $M$ con los vectores directores y la matriz ampliada $M'$ con los tres vectores: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad M' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 1. **Rango de M:** Como $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, entonces $\text{rango}(M) = 2$. Esto indica que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. 2. **Rango de M':** Calculamos el determinante de $M'$ por Sarrus o desarrollando por la tercera columna: $$|M'| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \cdot (-1) - (0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot 0)$$ $$|M'| = 0 - (-1) = 1$$ Como $|M'| \neq 0$, entonces $\text{rango}(M') = 3$. ✅ **Conclusión (a):** Puesto que $\text{rango}(M) = 2$ y $\text{rango}(M') = 3$, las rectas **se cruzan** en el espacio. $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**(b) Halle dos vectores directores de $r$ y $s$. Calcule el área del triángulo que forman. (1 punto)** Los vectores directores obtenidos en el apartado anterior son: $$\vec{v}_r = (1, 1, 0) \quad \text{y} \quad \vec{v}_s = (1, 0, 1)$$ El área del triángulo formado por dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con origen común se calcula como: $$Area = \frac{1}{2} |\vec{v}_r \times \vec{v}_s|$$ Calculamos el producto vectorial paso a paso mediante el determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \vec{i}(1-0) - \vec{j}(1-0) + \vec{k}(0-1) = (1, -1, -1)$$ 💡 **Tip:** El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial; el área del triángulo es la mitad de dicho valor.

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$ Por tanto, el área del triángulo es: $$Area = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ unidades cuadradas}}$$