Verificación de la matriz inversa mediante una expresión polinómica

**1. Dadas las siguientes matrices $A$ e $I$, pruebe que la inversa de $A$ es $A^{-1} = A^2 - 3A + 3I$.** Para probar que una matriz es la inversa de otra, la forma más directa es aplicar la definición de matriz inversa. Si afirmamos que $A^{-1} = X$, se debe cumplir que: $$A \cdot X = I$$ En este caso, calcularemos primero la expresión $X = A^2 - 3A + 3I$ y después verificaremos que al multiplicarla por $A$ obtenemos la matriz identidad $I$. Empezamos calculando $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot 1 + 1\cdot 0 - 1\cdot 0 = 1)$, $(1\cdot 1 + 1\cdot 1 - 1\cdot 0 = 2)$, $(1\cdot(-1) + 1\cdot 1 - 1\cdot 1 = -1)$ - Fila 2: $(0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0)$, $(0\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 0 = 1)$, $(0\cdot(-1) + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2)$ - Fila 3: $(0\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0)$, $(0\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0)$, $(0\cdot(-1) + 0\cdot 1 + 1\cdot 1 = 1)$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda.

Ahora calculamos el valor de la expresión propuesta $X = A^2 - 3A + 3I$: Sustituimos las matrices: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos los escalares: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Operamos elemento a elemento: - $x_{11} = 1 - 3 + 3 = 1$ - $x_{12} = 2 - 3 + 0 = -1$ - $x_{13} = -1 - (-3) + 0 = 2$ - $x_{21} = 0 - 0 + 0 = 0$ - $x_{22} = 1 - 3 + 3 = 1$ - $x_{23} = 2 - 3 + 0 = -1$ - $x_{31} = 0 - 0 + 0 = 0$ - $x_{32} = 0 - 0 + 0 = 0$ - $x_{33} = 1 - 3 + 3 = 1$ Obtenemos: $$\boxed{A^2 - 3A + 3I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para finalizar la prueba, multiplicamos la matriz $A$ por el resultado obtenido en el paso anterior para comprobar que obtenemos la identidad $I$: $$A \cdot (A^2 - 3A + 3I) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto: - Fila 1: $(1(1)+1(0)-1(0) = 1)$, $(1(-1)+1(1)-1(0) = 0)$, $(1(2)+1(-1)-1(1) = 0)$ - Fila 2: $(0(1)+1(0)+1(0) = 0)$, $(0(-1)+1(1)+1(0) = 1)$, $(0(2)+1(-1)+1(1) = 0)$ - Fila 3: $(0(1)+0(0)+1(0) = 0)$, $(0(-1)+0(1)+1(0) = 0)$, $(0(2)+0(-1)+1(1) = 1)$ El resultado es: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Queda probado que: $$\boxed{A^{-1} = A^2 - 3A + 3I}$$ 💡 **Tip:** En un examen, si el enunciado te da la fórmula de la inversa, siempre es más rápido y menos propenso a errores calcular la fórmula y multiplicar, que calcular la inversa mediante el método de los adjuntos o Gauss-Jordan.