Estudio de función y cálculo de área integral

**a) Calcule el dominio de la función $f$, los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.** Analizamos las restricciones de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$: 1. El logaritmo natural solo está definido para valores estrictamente positivos: $x \gt 0$. 2. El denominador no puede ser cero: $x \neq 0$. Ambas condiciones se cumplen si $x \in (0, +\infty)$. **Puntos de corte:** - **Eje de ordenadas (Eje Y):** Se obtiene haciendo $x=0$. Como $x=0$ no pertenece al dominio, **no hay punto de corte con el eje Y**. - **Eje de abscisas (Eje X):** Se obtiene haciendo $f(x)=0$: $$\frac{\ln(x)}{x} = 0 \implies \ln(x) = 0 \implies x = e^0 = 1$$ El punto de corte es **$(1, 0)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el dominio de $\ln(g(x))$ requiere que $g(x) \gt 0$. Siempre comprueba las restricciones del logaritmo y del denominador simultáneamente. $$\boxed{\text{Dom}(f) = (0, +\infty), \quad \text{Corte eje X: } (1, 0)}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e^1 = e$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, e) & e & (e, +\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & -\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(0, e)$, tomamos $x=1$: $f'(1) = \frac{1-\ln 1}{1^2} = 1 \gt 0$ (**creciente**). - En $(e, +\infty)$, tomamos $x=e^2$: $f'(e^2) = \frac{1-\ln e^2}{e^4} = \frac{1-2}{e^4} \lt 0$ (**decreciente**). ✅ **Resultado de monotonía:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, e) \text{ y decreciente en } (e, +\infty)}$$

**b) Calcule el área de la región del plano determinada por la gráfica de la función $f$, las rectas $x = 1$ y $x = e$, y el eje de abscisas.** El área viene dada por la integral definida de la función entre los límites $x=1$ y $x=e$. Primero verificamos si la función cambia de signo en el intervalo $[1, e]$. Como vimos en el apartado anterior, el único punto de corte con el eje X es $x=1$. Además, para $x \in [1, e]$, $\ln(x) \ge 0$ y $x \gt 0$, por lo que $f(x) \ge 0$ en todo el intervalo. El área es: $$A = \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx$$ 💡 **Tip:** Si la función fuera negativa en parte del intervalo, deberíamos separar la integral y usar valores absolutos para asegurar que el área sea positiva. $$\boxed{A = \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx}$$

Observamos que la integral es de tipo inmediata, siguiendo la forma $\int f(x)^n \cdot f'(x) \, dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1}$: $$\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \int (\ln x)^1 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $1$ y $e$: $$A = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_{1}^{e}$$ $$A = \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2}$$ Como $\ln e = 1$ y $\ln 1 = 0$: $$A = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = 0.5$$ 💡 **Tip:** No olvides indicar las unidades de superficie ($u^2$) al tratarse de un área. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{1}{2} \text{ u}^2}$$