Puntos de intersección y triángulo en el espacio

**a) Calcule los puntos $P$, $Q$ y $R$, y el perímetro del triángulo de vértices $P$, $Q$ y $R$.** Para hallar los puntos de intersección del plano $\pi: x + 4y + 2z = 4$ con los ejes de coordenadas, igualamos a cero las coordenadas que no corresponden al eje estudiado: * **Intersección con el eje $OX$ (Punto $P$):** Hacemos $y = 0$ y $z = 0$. $$x + 4(0) + 2(0) = 4 \implies x = 4 \implies P(4, 0, 0)$$ * **Intersección con el eje $OY$ (Punto $Q$):** Hacemos $x = 0$ y $z = 0$. $$0 + 4y + 2(0) = 4 \implies 4y = 4 \implies y = 1 \implies Q(0, 1, 0)$$ * **Intersección con el eje $OZ$ (Punto $R$):** Hacemos $x = 0$ y $y = 0$. $$0 + 4(0) + 2z = 4 \implies 2z = 4 \implies z = 2 \implies R(0, 0, 2)$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte con los ejes siempre tienen dos coordenadas nulas. En la forma segmentaria $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, los cortes son $(a,0,0)$, $(0,b,0)$ y $(0,0,c)$. $$\boxed{P(4, 0, 0), \quad Q(0, 1, 0), \quad R(0, 0, 2)}$$

El perímetro es la suma de las longitudes de los lados del triángulo, es decir, el módulo de los vectores que forman sus lados: $d(P,Q)$, $d(Q,R)$ y $d(R,P)$. 1. **Lado $PQ$:** $$\vec{PQ} = Q - P = (0-4, 1-0, 0-0) = (-4, 1, 0)$$ $$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$ 2. **Lado $QR$:** $$\vec{QR} = R - Q = (0-0, 0-1, 2-0) = (0, -1, 2)$$ $$|\vec{QR}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$ 3. **Lado $RP$:** $$\vec{RP} = P - R = (4-0, 0-0, 0-2) = (4, 0, -2)$$ $$|\vec{RP}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ El perímetro $L$ es: $$L = \sqrt{17} + \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{17} + 3\sqrt{5}$$ Calculando el valor aproximado: $$L \approx 4.123 + 6.708 = 10.831$$ ✅ **Resultado (Perímetro):** $$\boxed{L = \sqrt{17} + 3\sqrt{5} \text{ unidades}}$$

A continuación se representa el plano intersecando los ejes y formando el triángulo $PQR$:

**b) Calcule el área del triángulo de vértices $P$, $Q$ y $R$.** Utilizaremos la fórmula del área basada en el producto vectorial de dos vectores que parten del mismo vértice. Usaremos $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$: * $\vec{PQ} = (-4, 1, 0)$ * $\vec{PR} = R - P = (0-4, 0-0, 2-0) = (-4, 0, 2)$ Calculamos el producto vectorial $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ mediante el determinante: $$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v} \times \vec{w} = (1 \cdot 2)\vec{i} + (0 \cdot (-4))\vec{j} + ((-4) \cdot 0)\vec{k} - [((-4) \cdot 1)\vec{k} + (0 \cdot 0)\vec{i} + (2 \cdot (-4))\vec{j}]$$ $$\vec{v} \times \vec{w} = 2\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k} - (-4\vec{k} + 0\vec{i} - 8\vec{j})$$ $$\vec{v} \times \vec{w} = 2\vec{i} + 8\vec{j} + 4\vec{k}$$ $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = (2, 8, 4)$$ 💡 **Tip:** El orden de los vectores en el producto vectorial solo cambia el signo del resultado, pero el módulo (que es lo que necesitamos para el área) se mantiene igual.

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial calculado anteriormente: $$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{2^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 64 + 16} = \sqrt{84}$$ Simplificamos el radical: $$\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$$ Aplicamos la fórmula del área: $$S = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{21} = \sqrt{21}$$ Valor aproximado: $$S \approx 4.583 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{S = \sqrt{21} \text{ u}^2}$$