Tangente horizontal y pendiente máxima de una función racional

**a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica en aquellos puntos en los que la recta tangente es horizontal. [1 punto]** Una recta tangente es horizontal cuando su pendiente es cero. Dado que la pendiente de la recta tangente en un punto $x$ viene dada por el valor de la derivada $f'(x)$, debemos encontrar los puntos donde $f'(x) = 0$. Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ usando la regla del cociente o la regla de la cadena para $(1+x^2)^{-1}$: $$f'(x) = \frac{0 \cdot (1+x^2) - 1 \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$\frac{-2x}{(1+x^2)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una fracción es igual a cero solo si su numerador es cero y su denominador es distinto de cero.

Para hallar la ecuación de la recta tangente, necesitamos el punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$. Si $x_0 = 0$: $$f(0) = \frac{1}{1 + 0^2} = 1$$ El punto es $(0, 1)$. Como la pendiente es $m = f'(0) = 0$, la ecuación de la recta tangente es: $$y - f(0) = f'(0)(x - 0) \implies y - 1 = 0(x - 0) \implies y = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 1}$$

**b) Calcule las coordenadas del punto de la gráfica de la función $f(x)$ en que la pendiente de la recta tangente es máxima. [1 punto]** La pendiente de la recta tangente en cualquier punto $x$ es la función $m(x) = f'(x)$. Queremos maximizar esta función: $$m(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$$ Para encontrar los extremos de $m(x)$, calculamos su derivada, que corresponde a la segunda derivada de la función original, $f''(x)$: $$f''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 - (-2x) \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(1+x^2)$: $$f''(x) = \frac{-2(1+x^2) + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{-2 - 2x^2 + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$$ 💡 **Tip:** Para maximizar una función (en este caso la pendiente), debemos derivar dicha función e igualar a cero.

Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los puntos donde la pendiente puede ser máxima o mínima: $$\frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3} = 0 \implies 6x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ Obtenemos dos soluciones: $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Tenemos dos puntos candidatos: $x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $x_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Analizamos el signo de $f''(x)$ para determinar cuál de los puntos corresponde a un máximo de la pendiente $f'(x)$. El denominador $(1+x^2)^3$ siempre es positivo, por lo que el signo depende del numerador $6x^2 - 2$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}) & -\frac{\sqrt{3}}{3} & (-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) & \frac{\sqrt{3}}{3} & (\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)\\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f'(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, la pendiente $f'(x)$ pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo** de la pendiente. - En $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$, la pendiente $f'(x)$ pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo** de la pendiente.

El enunciado pide las coordenadas del punto en la gráfica de $f(x)$, por lo que debemos calcular la ordenada $y$ sustituyendo $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ en la función original $f(x)$: $$f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{1 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{3}{9}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$$ El punto donde la pendiente es máxima es $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{3}{4}\right)$. Podemos verificar el valor de la pendiente máxima: $$m\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = f'\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{-2(-\sqrt{3}/3)}{(1 + 1/3)^2} = \frac{2\sqrt{3}/3}{16/9} = \frac{18\sqrt{3}}{48} = \frac{3\sqrt{3}}{8} > 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{3}{4}\right)}$$ (También aceptado como $\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4}\right)$)