Operaciones con matrices y propiedades de los determinantes

**a) Calcule $A \cdot B$ y $B \cdot A$.** Para calcular el producto $A \cdot B$, multiplicamos las filas de la matriz $A$ por las columnas de la matriz $B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) + (-1)(2) & (2)(1) + (-1)(2) \\ (-6)(1) + (3)(2) & (-6)(1) + (3)(2) \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones aritméticas en cada elemento: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 - 2 & 2 - 2 \\ -6 + 6 & -6 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de dos matrices no nulas puede dar como resultado la matriz nula (esto se conoce como divisores de cero en el álgebra de matrices). ✅ **Resultado de $A \cdot B$:** $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos el producto $B \cdot A$. Recordemos que, en general, el producto de matrices **no es conmutativo**. $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) + (1)(-6) & (1)(-1) + (1)(3) \\ (2)(2) + (2)(-6) & (2)(-1) + (2)(3) \end{pmatrix}$$ Operamos los elementos: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 - 6 & -1 + 3 \\ 4 - 12 & -2 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ -8 & 4 \end{pmatrix}$$ Observamos que $A \cdot B \neq B \cdot A$, lo que confirma la no conmutatividad. ✅ **Resultado de $B \cdot A$:** $$\boxed{B \cdot A = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ -8 & 4 \end{pmatrix}}$$

**b) Justifique que si el producto de dos matrices cuadradas no nulas tiene por resultado la matriz nula, entonces el determinante de ambas matrices tiene que ser cero.** Sean $M$ y $N$ dos matrices cuadradas no nulas tales que $M \cdot N = \mathbf{0}$. Utilizamos la **propiedad del determinante del producto**, que establece que el determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: $$\det(M \cdot N) = \det(M) \cdot \det(N)$$ Como el enunciado indica que el producto es la matriz nula ($M \cdot N = \mathbf{0}$), y el determinante de la matriz nula es cero, tenemos: $$\det(M \cdot N) = 0 \implies \det(M) \cdot \det(N) = 0$$ En el cuerpo de los números reales, si el producto de dos números es cero, al menos uno de ellos debe ser cero. Esto nos indica que **al menos una** de las matrices debe tener determinante cero. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Si $\det(M) \neq 0$, entonces existe $M^{-1}$.

Para justificar que **ambos** deben ser cero dado que las matrices son **no nulas**, razonamos por reducción al absurdo: 1. Supongamos que $\det(M) \neq 0$. Entonces existiría la matriz inversa $M^{-1}$. Si multiplicamos la igualdad $M \cdot N = \mathbf{0}$ por la izquierda por $M^{-1}$: $$M^{-1} \cdot (M \cdot N) = M^{-1} \cdot \mathbf{0}$$ $$(M^{-1} \cdot M) \cdot N = \mathbf{0}$$ $$I \cdot N = \mathbf{0} \implies N = \mathbf{0}$$ Pero el enunciado dice que $N$ es una **matriz no nula**, lo que supone una contradicción. Por lo tanto, nuestra suposición es falsa y $\det(M)$ debe ser $0$. 2. Supongamos ahora que $\det(N) \neq 0$. Entonces existiría $N^{-1}$. Si multiplicamos $M \cdot N = \mathbf{0}$ por la derecha por $N^{-1}$: $$(M \cdot N) \cdot N^{-1} = \mathbf{0} \cdot N^{-1}$$ $$M \cdot (N \cdot N^{-1}) = \mathbf{0}$$ $$M \cdot I = \mathbf{0} \implies M = \mathbf{0}$$ De nuevo, contradice que $M$ es **no nula**. Por tanto, $\det(N)$ también debe ser $0$. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Si } M, N \neq \mathbf{0} \text{ y } M \cdot N = \mathbf{0}, \text{ entonces } \det(M) = 0 \text{ y } \det(N) = 0}$$