Matrices, Invertibilidad y Posición Relativa de Planos

**a) Encuentre los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz es invertible.** Una matriz cuadrada $A$ es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a - 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 3a & 1 \end{pmatrix}$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a - 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 3a & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot 1) + (0 \cdot 1 \cdot 4) + ((a - 1) \cdot 1 \cdot 3a) - [ (4 \cdot a \cdot (a - 1)) + (3a \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 0) ]$$ Operamos los productos: $$|A| = a + 0 + (3a^2 - 3a) - [ 4a^2 - 4a + 3a ]$$ $$|A| = 3a^2 - 2a - (4a^2 - a)$$ $$|A| = 3a^2 - 2a - 4a^2 + a = -a^2 - a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para matrices de orden 3, la regla de Sarrus consiste en sumar los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restar los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas.

Para hallar los valores que hacen que la matriz no sea invertible, igualamos el determinante a cero: $$-a^2 - a = 0 \implies -a(a + 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $a = 0$ 2. $a + 1 = 0 \implies a = -1$ Por lo tanto, la matriz $A$ es invertible para todos los valores de $a$ excepto $0$ y $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}}$$

**b) Discuta la posición relativa de los planos $\pi_1: x + (a - 1)z = 0$, $\pi_2: x + ay + z = 1$ y $\pi_3: 4x + 3ay + z = 3$ en función de los valores del parámetro $a$.** El sistema formado por las ecuaciones de los tres planos es: $$\begin{cases} x + (a - 1)z = 0 \\ x + ay + z = 1 \\ 4x + 3ay + z = 3 \end{cases}$$ La matriz de coeficientes de este sistema es precisamente la matriz $A$ del apartado anterior: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a - 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 3a & 1 \end{pmatrix}$$ Y la matriz ampliada $A^*$ es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & a - 1 & 0 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 4 & 3a & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Discutiremos el sistema aplicando el **Teorema de Rouché-Frobenius** basándonos en los valores críticos hallados: $a=0$ y $a=-1$.

Si $a \neq 0$ y $a \neq -1$: Como vimos en el apartado (a), en este caso $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 3$. Como el rango máximo de la matriz ampliada $A^*$ también es 3, tenemos: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n^o \text{ incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Esto significa que existe una única solución $(x, y, z)$. Geométricamente, esto implica que los tres planos se cortan en un **único punto**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, -1: \text{Los tres planos se cortan en un punto.}}$$

Si $a = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ usando la cuarta columna: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 4 + 0) - (0 + 1 - 3) = -1 - (-2) = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. No hay puntos comunes a los tres planos. Analizamos si hay planos paralelos comparando sus vectores normales: - $\vec{n_1} = (1, 0, -1)$ - $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$ - $\vec{n_3} = (4, 0, 1)$ No hay ningún par de vectores proporcionales, por lo que no hay planos paralelos. Los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas (formando un prisma). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0: \text{Sistema Incompatible. Los planos se cortan dos a dos en rectas paralelas.}}$$

Si $a = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 4 & -3 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Calculamos el rango de $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$. El único determinante de orden 3 posible con la columna de términos independientes es: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & -3 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3 + 3) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. Los vectores normales $\vec{n_1}=(1,0,-2)$, $\vec{n_2}=(1,-1,1)$ y $\vec{n_3}=(4,-3,1)$ no son proporcionales (no hay planos coincidentes). Por tanto, los tres planos se cortan en una **misma recta** (haz de planos). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -1: \text{Sistema Compatible Indeterminado. Los tres planos se cortan en una recta.}}$$