Área delimitada por parábola y rectas

**a) Calcule los puntos de intersección entre las gráficas de las diferentes funciones y haga un esbozo de la región delimitada por las gráficas.** Para hallar los puntos de intersección, igualamos las funciones de dos en dos: 1. **Intersección entre $y=x^2$ e $y=x$:** $$x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$$ Obtenemos $x=0$ y $x=1$. Los puntos son **$(0,0)$** y **$(1,1)$**. 2. **Intersección entre $y=x^2$ e $y=2x$:** $$x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$$ Obtenemos $x=0$ y $x=2$. Los puntos son **$(0,0)$** y **$(2,4)$**. 3. **Intersección entre $y=x$ e $y=2x$:** $$x = 2x \implies x = 0$$ El único punto de intersección es el origen **$(0,0)$**. 💡 **Tip:** Para encontrar la intersección de dos curvas $f(x)$ y $g(x)$, resolvemos la ecuación $f(x) = g(x)$. ✅ **Puntos de intersección:** $$\boxed{(0,0), (1,1) \text{ y } (2,4)}$$

Para realizar el esbozo, representamos la parábola y las dos rectas en el primer cuadrante, ya que todos los puntos de intersección tienen coordenadas no negativas. - La recta $y=2x$ siempre está por encima de las otras dos funciones en el intervalo de interés. - En el intervalo $[0, 1]$, la región está limitada por $y=2x$ (superior) e $y=x$ (inferior). - En el intervalo $[1, 2]$, la región está limitada por $y=2x$ (superior) e $y=x^2$ (inferior). Aquí tienes la representación gráfica interactiva de la región:

**b) Calcule el área de la región del apartado anterior.** La región delimitada se divide en dos recintos según la función que actúa como límite inferior: 1. **Recinto 1 ($A_1$):** de $x=0$ a $x=1$. La función superior es $y=2x$ y la inferior es $y=x$. 2. **Recinto 2 ($A_2$):** de $x=1$ a $x=2$. La función superior es $y=2x$ y la inferior es $y=x^2$. El área total es: $$A = \int_{0}^{1} (2x - x) \, dx + \int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f(x)$ (superior) y $g(x)$ (inferior) en $[a, b]$ es $\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$.

Calculamos $A_1$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ $$A_1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_1 = 0.5 \text{ u}^2}$$

Calculamos $A_2$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_2 = \int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$A_2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 1^2 - \frac{1^3}{3} \right)$$ $$A_2 = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right)$$ $$A_2 = \left( \frac{12-8}{3} \right) - \left( \frac{3-1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_2 = \frac{2}{3} \text{ u}^2}$$

Sumamos los resultados de ambos recintos para obtener el área total: $$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$$ Buscamos el denominador común (6): $$A = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} \text{ u}^2$$ El área de la región es aproximadamente $1.167$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{7}{6} \text{ u}^2}$$